导数概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；
领悟极限思想；
提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。

(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；
设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角） xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点M处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角） limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f"(x0)。

即 f"(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f"(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f"(x0)limx0xxx0f"(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim （0x） xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f"(x0)。

左导数

f"(x0)ylim。

x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f"(x0)存在f"(x0)，f"(x0)都存在，且f"(x0)=f"(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f"(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

"f(x)f(x) f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f"(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1 ，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为 ( A ) x2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f"(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1) (2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim (4) lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。

2

第二章 导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度）， 几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际）， 掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则；

2．隐函数的导数；

3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§2.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。

在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运

动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0) （1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt， 2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。

t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念 曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数yf(x)的图形，M(x0,y0)C，则y0f(x0)，点N(x0x,y0y)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

yf(x0x)f(x0) xx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即x0，割线的斜率趋向于切线的

tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)ylim

（2）

x0xx0x3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数CC(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。

用前两例类似的方法处理得：

CC(x0x)C(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxCC(x0x)C(x0)lim

（3）

x0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

limx0f(x0x)f(x0）

（4）

x的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

y"xx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x0)limxx0f(x)f(x0)

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy"平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；
而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x（2）在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间I的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间I内可导，这时，xI，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y",f"(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)或。

dxdxylimx0f(xx)f(x)f(xh)f(x).或f(x)limh0xh在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才是变量；
并且导数f"(x0)恰是导函数f"(x)在点x0处的函数值.3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.

(a)和f(b)都存在，就说f(x)在还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f闭区间[a,b]上可导.

三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为：
① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值：例

1求yC的导数（C为常数）.解 求增量yCC0 作比值

取极限

limy0 xy0

x0x所以

(C)"0

即常量的导数等于零.

例

2求函数yxn(xN)的导数.解 y(xx)xnxnnn1xn(n1)n2x(x)2(x)n， 2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1， x2!yy"limnxn1，

x0x即

(xn)"nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1."例如：(x)(R)

12x1"，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)limh0"f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim h0hhhlimcos(x)h0h22即

sinh2cosx

(sinx)"cosx.用类似方法，可求得

(cosx)"sinx. 例4 求ylogax(a0,a1)的导数.

hloga(1)loga(xh)logaxx 解 y"limlimh0h0hh

hloga(1)x11hxlimlimloga(1)h

h0hxxh0xx所以 1logae x(logax)"1logae x特别地，当ae时，有

(lnx)"1 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f"(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为

yy0f(x0)(xx0). 思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？ 根据法线的定义：过点M（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

yy0例5 求双曲线y程.

1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky"所以切线的方程为

121()"x121x2124

1y24(x)，

2即 4xy40.法线的方程为

y211(x)， 42即

2x8y150.

五、可导与连续的关系

定理 函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x， lim从而有

yf(x0)x，

其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx， 因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例6 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。

解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1， h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，

h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.

本节小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x2.基本初等函数的导数：

(C)"0 (x)nx(logax)"n"n1 (sinx)"cosx (cosx)"sinx

11logae (lnx)" (ax)"axlna (ex)"ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。

4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；
明确其实际背景并给出物理、几何解释；
能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；
明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

【教学过程】：

一） 导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；
设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极

1 限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角） xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角） limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三） 导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f"(x0)。即

f"(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

2 f"(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f"(x0)limx0xxx0f"(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf"(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解 由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx"2xx2limlim(2x)2 x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

(x )

f(x)f(x )证

f(x)f 又f(0)lim

limx0"x0f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xxf(0)0

注意：f"(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x) 在x0处的连续性，可导性。

0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0) x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：

3 x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在 limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答 f(x) n1,2,3，即可。

0,x0四）可导与连续的关系

由上题可知；
在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf"(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf"(x0)xo(x)，

所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五） 单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明 limx0f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1 ，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim （0x） x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f"(x0)。

左导数

f"(x0)ylim。

x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f"(x0)存在f"(x0)，f"(x0)都存在，且f"(x0)=f"(x0)。

4 例5 设f(x)解 由于 1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x , f"(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0 x0xxf(x0x)f(x0)xlim1 x0xxf"(0)limx0从而f"(0)f"(0)，故f(x)在x0处不可导。

六） 小结: 本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

② 注意f"(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释；

④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

投稿日期：2015.2.3 所投栏目：（高中版）课堂教学研究 手机号码：15298391861 电子邮箱：sx9106240@126.com

高中导数概念引入的教学研究

孙旋 南京师范大学 210000 摘要：导数是微积分的核心概念，高中开设微积分课程具有多方面的价值和意义。新课标在导数概念的处理上有了大的变化，考虑到高中学生的认知水平要求不讲极限，但要求体会导数的思想及其内涵。极限思想与极限定义不同，极限思想在很早的时候就有了，而极限定义产生于解决微积分学的基本问题。高中导数蕴含着重要的极限思想，高中学生体会极限思想有利于之后微积分内容的学习。

关键词：极限思想；
瞬时速度；
导数

一、课程标准的要求

全日制普通高中数学课程标准中导数概念及其几何意义的内容与要求是：“①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。”

《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化:1.突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习, 学生对极限概念认识和理解的困难, 影响了对导数本质的认识和理解。因此, 课标在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理, 而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例, 引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程, 认识和理解导数概念；
同时加强对导数几何意义的认识和理解；
2.强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢, 研究函数的基本性质和优化问题中的应用, 并通过与初等方法比较, 感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。

二、导数概念的内涵

高等数学中导数的定义是：函数 y=f（x）在 x 的某邻域 U（x，δ）中有定义，自变量在点 x 处获得一个增量△x，相应地，函数 y 获得增量△y=f（x+△x）-f（x）。

考虑极限式子

limy ，如果该极限存在 ，我们就称该极限x0xdy为函数 y=f（x）在 x处的导数，记作 f′（x）或dx。函数的导数如果像这样依托于极限进行定义，没有具体的问题，高中生很难知道求导数到底是在干什么。

苏教版教材中导数的定义是：设函数yf(x)在区间（a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值

yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个xx常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数在xx0处的导数，记作f"(x0)。

人教版教材中导数的定义是：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化limylimf(x0x)f(x0)率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处x0xx0x的导数，记作f"(x0)或y"xx0即f"(x0)=

limylimf(x0x)f(x0).x0xx0x但当与实际问题结合起来是，导数的内涵就清晰了，导数在一些具体问题中的意义诠释如下：

s(1)运动学中，对象函数为 S＝S（t），S 表示位移，t 表示时间，则t表示一段时内的平均速度。再进一步，我们容易意识到S"(t)对应着 t 时刻物体的瞬时速度 v（t）。

类似地，我们也能意识到V"(t)对应着 t 时刻物体的瞬时加速度 a（t）。

(2)几何中，y=f（x）图像曲线上有定点 M（x，f（x））及动点 N（x+△x，f（x+△x）），N 的运动由自变量增量△x 控制。

显然，

y表示弦 MN 所在直x线的斜率，进一步我们容易意识到，当动点 N 沿函数图像曲线不断靠近 M 时，MN 所在直线就越来越接近图像曲线在点 M 处的切线了，自然f"(x)表示的应是点 M（x，f（x））处切线的斜率。

导数及其应用属于高中选修内容，此时学生已经在高一年级阶段学习了瞬时速度、平均速度和加速度等物理知识，结合瞬时速度引入导数概念可以帮助学生正确理解导数的内涵。导数的几何意义重要性突出，是导数从数到形的桥梁，让学生感受变化率和斜率的内在联系。由此可见，高中导数概念不仅具有标准化的数学语言描述，而且结合实际问题体现了其教学价值，成功地将高等数学知识下放到高中数学中。

三、极限思想在教材中的体现及重要性

新课标明确要求高中导数概念的引入不再先进行极限的教学，要让学生通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。从教材的内容安排来分析，苏教版已经将极限相关内容删除，但在导数定义中含有“无限趋近于”一词，这正是极限思想的体现。而人教版教材的选修Ⅰ和选修Ⅱ中考虑到文理科学生的差别在导数概念的引入上差异较大，但定义中仍然都存在极限一词。

苏教版教材选修1-1和选修2-2中导数的概念是通过具有实际背景的生活实例，先让学生理解平均变化率是近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，通过逐渐逼近让学生观察并体会某一点处的切线的斜率和瞬时加速度，进而升华出瞬时变化率，最后引入导数就是瞬时变化率。从教育心理学角度来看，学生学习新概念时总是会从原有认知出发，发现、理解原来知识体系和新事物间的联系和区别，理解概念时易受到已有知识结构和自身感性经验以及自身概括能力的影响。所以如果学生对于瞬时变化率的理解不透彻，进而对导数概念理解也不深刻。

人教版教材中选修Ⅰ是通过讨论瞬时速度、切线的斜率和边际成本，指出虽然它们的实际意义不同，但从函数的角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限，由此引入函数的概念。选修Ⅱ中导数概念主要从“气球膨胀率”和“高台跳水”展开，这两个实例虽然学生在生活中会接触，但是在抽象出理论知识时会要求的状态较为理想化使学生对于实例不能充分理解或者说学生对于导数概念更多的依赖于瞬时变化率。若想理解导数就必须有正确的极限思想，如果学生没有这种极限意识，在理解导数概念时肯定会困难重重。

在导数概念讲解的过程中教师不必依托于形式化的极限定义，但是导数的概念甚至以后的微积分学习中仍然蕴含着极限思想，所以在课堂上对学生极限思维的培养意义重大。

四、个人关于高中导数概念教学的建议及设计片段

新课标在导数内容的变化是符合高中学生的身心发展特点的，形式化的极限定义对于高中生来说理解起来难度较大，许多调查研究表明以往高中生对极限概念的学习效果差强人意，从“平均变化率—瞬时变化率”的教学改善了导数的教学效果。

教师对于导数的理解直接可以影响学生对于导数的学习情况，作为教师我们应该了解极限思想贯穿微积分教学的始终，可以说不论是中学还是大学，极限思想是微积分的核心。教师要善于利用问题，在教学活动中做些适当的安排，充分利用学生已有的物理知识、曲线斜率知识和变化率知识，将导数概念中的x0讲解透彻，让学生理解趋近于0并不等于0，这正是极限思想的体现，注重引导学生用数学眼光看问题，增强应用意识。除此之外，教师可以通过数学史的讲解让学生体会极限思想在处理一些问题上的好处，从而正确理解导数概念，有利于从微分到积分的学习。教师巧妙的教学设计可以做到“此时无声胜有声”，达到事半功倍的效果。

对课本中“1.1导数的概念”的设计片段：
1.创设情境

著名物理学家、诺贝尔奖获得者费恩曼曾讲过这样一则笑话。一位女士由于驾车超速而被警察拦住。警察走过来对她说：“太太，您刚才的车速是60英里每小时！”这位女士反驳说：“不可能的！我才开了7分钟，还不到一个小时，怎么可能走了60英里呢？”太太，我的意思是：“如果您继续像刚才那样开车，在下一个小时里您将驶过60英里。”“这也是不可能的。我只要再行驶10英里就到家了，根本不需要再开过60英里的路程。”如果你是警察，你会如何解释呢？ （设计意图：从学生已有的物理知识出发，引入瞬时速度与瞬时变化率，建立物理与数学的联系，通过举例让学生感受平均变化率和瞬时变化率的区别。） 2.瞬时速度和导数的概念

物理学中，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，对这样的速度我们常用极限的思想方法去求解。通过不断探究得到瞬时速度的数学表达式，也就是位移对于时间的瞬时变化率，从而给出瞬时变化率即导数的概念。（探究过程就是将时间不断缩小，从时间间隔到时刻、平均速度到瞬时速度，最后得到瞬时速度就是瞬时变化率，这里不再赘述。）

（设计意图：“正如牛顿所做的那样,理解导数之本质的最好方法是考虑速度。”从速度出发进行探究，将时间不断缩小就是从平均速度过渡到瞬时速度，从平均变化率过渡到瞬时变化率，顺水推舟给出导数概念。） 参考文献：

1.王佩.导数的现实应用内涵理解与教学策略[J].科技世界，2014(17):147-148.2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.3.苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书[Z].江苏：江苏教育出版社，2012.4.人民教育出版社中数学室.全日制普通高级中学教科书[Z].北京：人民教育出版社，2003.5.宋宝和，郭兆明，房元霞.变化率思想：高中开设微积分课程的价值[J].课程•教材•教法，2006(9):44-47.6.王洪岩.高中生导数概念教学的研究[D].河北师范大学，2012.7.宗慧敏,王月华.导数概念教学体会[J].科技信息（职教论坛），2009（11）：222，236.8.王忠.微积分学教学中的极限思想[J].内蒙古科技与经济，2001（2）：107—109.联系电话：15298391861 Email：sx9106240@126.com 作者简介:孙旋（1990.06—），女，硕士，南京师范大学，研究方向为学科教学(数学）

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