(六)函数与导数

　( 六) 函数与导数 1．设曲线 y＝ x＋1x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝________. 答案 －2 解析 ∵y＝ x＋1x－1 ＝1＋2x－1 ，∴y′＝－2x－1 2 . ∴曲线在点(3,2)处的切线斜率 k＝－ 12 . ∴－a＝2，即 a＝－2. 2．(2019·南通、扬州、泰州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝3x＋t 与曲线 y＝asin x＋bcos x(a，b，t∈R)相切于点(0,1)，则(a＋b)t 的值为________． 答案 4 解析 y＝asin x＋bcos x 的导数为 y′＝acos x－bsin x，在 x＝0 处的切线的斜率为 k＝3， 即 acos 0－bsin 0＝3， 又切点(0,1)同时在直线和曲线上，有  1＝t，b＝1，a＝3，所以(a＋b)t＝4. 3．已知函数 f(x)＝x－1－(e－1)ln x，其中 e 为自然对数的底数，则满足 f(e x )<0 的 x 的取值范围为________． 答案 (0,1) 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由 f(x)＝x－1－(e－1)ln x，得 f′(x)＝1－ e－1x， 所以 f(x)在(0，e－1)上单调递减，在(e－1，＋∞)上单调递增， 由 f(1)＝0，f(e)＝0， 得 f(x)<0 的解集为{x|1<x<e}， 从而 f(e x )<0 等价于 1<e x <e，即 0<x<1. 4．已知函数 f(x)＝ ax＋1x＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是________． 答案 －∞， 12 解析 ∵f′(x)＝2a－1x＋2 2 ，且函数 f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0 在(－2，＋∞)

　上恒成立，∴a≤ 12 . 当 a＝ 12 时，f′(x)＝0 恒成立，不合题意，应舍去． ∴a< 12 . 5．已知 a≤ 1－xx＋ln x 对任意 x∈ 12 ，2 恒成立，则 a 的最大值为________． 答案 0 解析 令 f(x)＝ 1－xx＋ln x，x∈ 12 ，2 ， 则 f′(x)＝ x－1x 2，x∈ 12 ，2 . 当 x∈ 12 ，1 时，f′(x)<0，当 x∈[1,2]时，f′(x)≥0， ∴f(x)在 12 ，1 上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴f(x) min ＝f(1)＝0，∴a 的最大值为 0. 6．函数 f(x)＝x 3 －3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析 f′(x)＝3x 2 －3a＝3(x 2 －a)． 当 a≤0 时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值． 当 a>0 时，f′(x)＝3(x－ a)(x＋ a)． 当 x∈(－∞，－ a)和( a，＋∞)时，f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f(x)单调递减， 所以当 0< a<1，即 0<a<1 时，f(x)在(0,1)内有最小值． 7．如果函数 f(x)＝x 3 － 32 x2 ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的最小值是________． 答案 － 12

　解析 ∵f′(x)＝3x 2 －3x， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝1. ∴在[－1,1]上，当 x∈[－1,0)时，f′(x)>0， 当 x∈(0,1]时，f′(x)≤0， f(x)在[－1,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减． ∴x＝0 是 f(x)的极大值点，也是最大值点，

　∴f(x) max ＝f(0)＝a＝2， ∴f(x)＝x 3 － 32 x2 ＋2. 又 f(－1)＝－ 12 ，f(1)＝32 ， ∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－ 12 . 8．设函数 f(x)＝ax 3 －3x＋1(x∈R)，若对于任意的 x∈[－1,1]，都有 f(x)≥0 成立，则实数 a的值为________． 答案 4 解析 当 x＝0 时，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立； 当 x>0，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax 3 －3x＋1≥0 可化为 a≥3x 2 －1x 3 . 设 g(x)＝3x 2 －1x 3 ，x≠0，则 g′(x)＝31－2xx 4，x≠0. 所以 g(x)在区间 0， 12上单调递增， 在区间 12 ，1 上单调递减． 因此当 x∈(0,1]时，g(x) max ＝g 12＝4，从而 a≥4； 当 x<0，即 x∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3 －3x＋1≥0 可化为 a≤3x 2 －1x 3 ，g(x)在区间[－1,0)上单调递增， 因此当 x∈[－1,0)时，g(x) min ＝g(－1)＝4，从而 a≤4.所以 a＝4. 9．已知直线 y＝a 分别与直线 y＝2x－2，曲线 y＝2e x ＋x 交于点 A，B，则线段 AB 长度的最小值为________． 答案 3＋ln 22 解析 作曲线 y＝2e x ＋x 的切线，使切线与直线 y＝2x－2 平行， 设切点为 M(x 0 ,20e x ＋x 0 )，易得 y′＝2e x ＋1， 则切线的斜率 k＝20e x ＋1＝2⇒x 0 ＝ln 12 ， 故 M ln 12 ，1＋ln12， 故切线方程为 y＝2x＋1＋ln 2，切线与 x 轴的交点坐标为 － 1＋ln 22，0 . 已知直线 y＝2x－2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，故 AB 长的最小值为 1－ － 1＋ln 22＝ 3＋ln 22.

　10．如果函数 y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，满足|x i －2|f(x i )＝1(i＝1,2,3)，则称函数 f(x)具有性质 Ω.已知函数 f(x)＝ae x 具有性质 Ω，则实数 a 的取值范围为________． 答案 1e ，＋∞ 解析 由题意知，若 f(x)具有性质 Ω， 则在定义域内|x－2|f(x)＝1 有 3 个不同的实数根， ∵ f(x)＝ae x ，∴ 1a ＝|x－2|·ex ， 即方程 1a ＝|x－2|·ex 在 R 上有 3 个不同的实数根． 设 g(x)＝|x－2|·e x ＝  x－2·e x ，x≥2，2－x·e x ，x<2， 当 x≥2 时，g′(x)＝(x－1)·e x >0， 即 g(x)在[2，＋∞)上单调递增； 当 x<2 时，g′(x)＝(1－x)·e x ，令 g′(x)>0，得 x<1，令 g′(x)<0，得 x>1，∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又∵ g(1)＝e，g(2)＝0，g(x)在 R 上连续， ∴方程 1a ＝|x－2|·ex 在 R 上有 3 个不同的实数根即函数 g(x)与 y＝ 1a 的图象有 3 个交点． ∴0< 1a <e，∴a>1e . 11．已知 f(x)＝x 3 －6x 2 ＋9x－abc，a<b<c，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：

　①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________． 答案 ②③ 解析 方法一 由 f(x)＝x 3 －6x 2 ＋9x－abc， 得 f′(x)＝3x 2 －12x＋9.

　令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝3. 当 x<1 时，f′(x)>0； 当 1<x<3 时，f′(x)<0； 当 x>3 时，f′(x)>0.

　∴当 x＝1 时，f(x)有极大值， 当 x＝3 时，f(x)有极小值． ∵函数 f(x)有三个零点， ∴f(1)>0，f(3)<0， 且 a<1<b<3<c. 又∵f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0， ∴abc>0，得 a>0，因此 f(0)<f(a)＝0， ∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0. 故正确结论的序号是②③. 方法二 由题设知 f(x)＝0 有 3 个不同零点． 设 g(x)＝x 3 －6x 2 ＋9x，g(x)的图象如图，

　∴f(x)＝g(x)－abc，若 f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下平移至如图所示位置． 观察图象可知，f(0)f(1)<0 且 f(0)f(3)>0. 故②③正确． 12．已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x)，满足 f′(x)<f(x)，且 f(0)＝ 12 ，则不等式 f(x)－ 12 ex <0 的解集为________． 答案 (0，＋∞) 解析 构造函数 g(x)＝ fxe x，则 g′(x)＝ f′x－fxe x， 因为 f′(x)<f(x)，所以 g′(x)<0， 故函数 g(x)在 R 上为减函数， 又 f(0)＝ 12 ，所以 g(0)＝f0e 0＝ 12 ， 则不等式 f(x)－ 12 ex <0 可化为 fxe x< 12 ， 即 g(x)< 12 ＝g(0)， 所以 x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)． 13．当 x∈(0，＋∞)时，不等式 c 2 x 2 －(cx＋1)ln x＋cx≥0 恒成立，则实数 c 的取值范围是________．

　答案 1e ，＋∞ 解析 当 c＝0 时，原不等式化为 ln x≤0 不恒成立． 原不等式因式分解得(cx＋1)(cx－ln x)≥0，x∈(0，＋∞)， 当 c>0 时，cx＋1>0，由 cx－ln x≥0，有 c≥ ln xx， 令 F(x)＝ ln xx，F′(x)＝ 1－ln xx 2，所以函数 F(x)在区间(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故在 x＝e 处取得最大值 F(e)＝ 1e ，由此可得 c≥1e . 当 c<0 时，cx＋1 在 0，－ 1c上为正数，在 － 1c ，＋∞ 上为负数，而(cx－ln x)′＝c－1x <0，所以 y＝cx－ln x 为减函数，由于 cx－ln x≥0⇔c≥ ln xx，由于 c 是负数，根据前面分析可知，不成立，所以 cx－ln x 恒为负数，所以(cx＋1)(cx－ln x)≥0 不恒成立，综上 c∈ 1e ，＋∞ . 14．已知函数 f(x)＝ 4x2 －72－x，函数 g(x)＝x 3 －3a 2 x－2a(a≥1)，若对任意 x 1 ∈[0,1]，总存在x 0 ∈[0,1]，使得 g(x 0 )＝f(x 1 )成立，则 a 的取值范围是________． 答案 1， 32 解析 对函数 f(x)求导可得 f′(x)＝ －4x2 ＋16x－72－x 2＝ －2x－12x－72－x 2， 令 f′(x)＝0，解得 x＝ 12 或 x＝72 . 当 x 变化时，f′(x)，f(x)在[0,1]的变化情况如下表所示：

　x 0 0， 12 12

　12 ，1 1 f′(x)

　－ 0 ＋

　f(x) － 72

　↘ －4 ↗ －3

　所以，当 x∈ 0， 12时，f(x)是减函数； 当 x∈ 12 ，1 时，f(x)是增函数． 当 x∈[0,1]时，f(x)∈[－4，－3]． 对函数 g(x)求导，则 g′(x)＝3(x 2 －a 2 )． 因为 a≥1，当 x∈(0,1)时，g′(x)<3(1－a 2 )≤0，

　因此当 x∈(0,1)时，g(x)为减函数， 从而当 x∈[0,1]时，g(x)∈[g(1)，g(0)]， 又 g(1)＝1－2a－3a 2 ，g(0)＝－2a， 即当 x∈[0,1]时，g(x)∈[1－2a－3a 2 ，－2a]， 任给 x 1 ∈[0,1]，f(x 1 )∈[－4，－3]， 存在 x 0 ∈[0,1]使得 g(x 0 )＝f(x 1 )， 则[1－2a－3a 2 ，－2a]⊇[－4，－3]， 即  1－2a－3a 2 ≤－4，

　①－2a≥－3，

　 ② 解①式得 a≥1 或 a≤－ 53 ， 解②式得 a≤ 32 ， 又 a≥1，故 a 的取值范围是 1≤a≤ 32 .

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