概率论中加法定理的教学与思考

总结出了利用加法定理计算概率的一般步骤，下面通过几个典型例题来进行说明。

步骤1：判定所求事件能否表示成若干简单事件的和，若不能，则考虑其对立事件。

步骤2：考虑所得的简单事件的概率是否容易计算，如果容易计算，则直接利用加法定理，否则进行步骤3。

步骤3：给出该事件的其他表示方法，进行步骤2。

例1，对某份杂志的1000名订阅者的调查得出了如下数据：考虑到他们的工作、婚姻和教育状况，有312名专业人员，470名已婚人士，525名大学毕业生，42名大学毕业的专业人员，147名已婚大学毕业生，86名已婚专业人员，25名已婚且大学毕业的专业人员。证明这些数据是不正确的。

分析：要证明这些数据是不正确的，需要找到矛盾。该问题实质是问上述计数结果是否正确，可以使用容斥原理计数集合{专业人员或已婚人士或大学毕业生}所包含的人数来判断。这里我们使用加法定理计算概率来找到矛盾。

解答：现从1000名订阅者中任取一名，设A表示“该订阅者为专业人员”，B表示“该订阅者为已婚人士”，C表示“该订阅者为大学毕业生”，则

这与概率的定义矛盾，所以上述统计数据不正确。

例2，（整除问题）在1～2000的整数中随机地取一个数，问取到的数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

分析：此问题初看起来可以直接通过计数来算概率，不过具体计算时发现不能被6整除的数和不能被8整除的数有重复，此时就可以尝试利用加法定理。那么设事件A表示“所取数不能被6整除”，事件B表示“所取数不能被8整除”，则题目所求的事件为AB。由步骤1知，其对立事件 。可以表示成 ∪ ，且 和 的概率容易求得，由步骤2，可直接利用加法定理。

解答：设A表示“所取数不能被6整除”，B表示“所取数不能被8整除”，则所求事件为AB。先求其对立事件的概率P（ ）=P（ ∪ ）。由于1～2000的整数中能被6整除的数有2000/6=333个，能被8整除的数有2000/8=250个，同时能被6和8整除的数，即能被24整

例3，（扑克牌问题）从52张扑克牌中随机抽取18张牌，问抽取的牌中有炸弹（相同数字的4张牌）的概率是多少？

分析：容易判断抽取的18张牌中最多有4个炸弹。如果设Ai表示“18张牌中恰好有i个炸弹”（i=0，1，2，3，4），则所求的概率为P（ ），根据步骤1，可以发现P（ ）=P（A1∪A2∪A3∪A4）。由于Ai互不相容，此时加法公式有如下简单形式：P（A1∪A2∪A3∪A4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）。利用步骤2，我们发现每个P（Ai）的计算都比较麻烦，因此由步骤3，我们需要考虑其他表示方法。

我们换一种思考方法：抽取的18张牌中可能包含炸弹1，2，…，13，且每个数字的炸弹最多1个。设A表示“抽取18张牌中包含炸弹”，即为所求事件。进一步设事件Ai表示“抽取的18张牌中包含炸弹i”（i=1，2，…，13），则A=A1∪A2∪…∪A13，我们得到了另一种表示方法。再次考虑步骤2，我们可以直接利用加法定理来计算。

解答：设A表示“抽取的18张牌中包含炸弹”，Ai表示“抽取的18张牌中包含炸弹i”（i=1，2，…，13），则P（A）=P（A1∪A2∪…∪A13）。由于18张牌中最多包含4个炸弹，所以任意5个Ai的积事件为空事件。因此，加法公式展开得到：

例4，（配对问题）设n个球1～n号随机地放入n只盒子（标号为1～n）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，试求至少有1个配对的概率。

分析：设A表示事件“至少有1个配对”。利用上述我们的解题步骤，首先考虑A的一种直观表示方法：Ai表示事件“恰好有i个配对”，则A=A1∪A2∪…∪An，且Ai互不相容，此时加法公式可简化为P（A）=P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+…+P（An），但是求P（Ai）比较困难，根据步骤2，我们要考虑A的其他表示方法。此时我们设Ai表示事件“第i只球和第i号盒子配对”，则我们得到新的表示方法：A=A1∪A2∪…∪An。此时根据步骤2，Ai的概率的计算相对容易，可以直接应用加法定理求解。

三 结束语

关于加法定理的具体应用，本文给出了三个步骤，并且通过具体例子阐释了如何基于这三个步骤来思考问题。

〔责任编辑：庞远燕、汪二款〕

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