生产策略规划

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　韩河江 生产策略问题 一问题 现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益。

　某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为 a=6 万单位，并以 b=1 万单位/月速度递增。若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管费 C2=0.2 元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损失费 C3=0.4 元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1 万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小？ 二分析 生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 为使工厂的总损失最少，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，从而制定出使工厂总损失最小的生产策略。

　我们可把此求工厂总损失最小生产策略问题化为最短路问题的多阶段决策问题。设每个顶点代表各月，且以每个顶点为转折点进行生产策略调整，求出每个阶段的最小损耗，最后，使用 Matlab 软件求出最短的路径，此路径即为使工厂损失最小的生产策略。

　精选文库 — 2 三假设 3.1市场的需求量严格按照年初的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。

　3.2 单位产品单位时间的库存保管费、短期损失费以及生产率每调整一次带有固定的调整费均不变。

　3.3 工厂可以严格按照生产率生产产品。

　四分析与建模 把此求工厂总损失最小生产策略问题化为最短路问题的多阶段决策问题，计算各阶段的最小损耗，及为它们之间的权值。

　符号说明 符号 说明 顶点x x12 1  1 月至 12月初； 顶点 x 13

　12月末； 弧x xa i i 

　从 i 月至 1  a i 月不调整生产策略，1 11 , 2 12      i a i ；

　从 i 月至 1  a i 月库存保管费和短期损失费的最小值以及第 a i 月的调整费用之和， 1 11 , 2 12      i a i ;

　从 i 月至 12 月库存保管费和短期损失费的最小值, 1 11   i ；

　工厂一年的总损失； X 不调整前每月生产 X 万单位； Yi i 月库存保管费和短期损失费； 每月社会需求量见下表：

　月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 需求量 （万元）

　6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.1 计算 1 月的库存保管费和短期损失费的最小值 0以及 2月的调整费用 1 万，因此为最小损耗 sx x2 1 为 1（万元）。

　同理，可得 sx xi i 1 （ 1 11   i ）皆为 1（万元）， sx x13 12 为 0。

　5.2 计算 1 月至 2 月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 3 月的调整费用 1万 最小值计算 （1）6=<X<6.5 Y1=（X-6)*0.2 Y2=(13-2X)*0.4 S=(4-0.6*X)+1 (2)X>=6.5 Y1=（X-6)*0.2 Y2=(2X-13)*0.2 S=(0.6X-3.8)+1 当 X=6.5，因此 sx x3 1 为 1.1（万元）。

　同理，可得 sx xi i 2 （ 1 10  i ）皆为 1.1（万元）， sx x13 11 为 0.1（万元）

　从上式我们可以看出不论在何种情况下，因 Yi是一次函数，而 sx xa i i 为 Yi 的和加 1（除 1 月至 12月），所以 sx xa i i 也为一次函数，所以最小损耗必在端点处取值。

　5.3 计算 1 月至 3月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 4月的调整费用 1 万

　精选文库 — 4 分 X>=7，6.5=<X<7，6=<X<6.5 三种情况讨论；得 X=7， 因此 sx x4 1 为 1.4（万元）。

　同理，可得 sx xi i 3 （ 1 9  i ）皆为 1.4（万元）， sx x13 10 为 0.4（万元）。

　5.4 计算 1 月至 4月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 5月的调整费用 1万 分 X>=7.5，7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 四种情况讨论；得 X=7.5， 因此 sx x5 1 为 2（万元）。

　同理，可得 sx xi i 4 （ 1 8  i ）皆为 2（万元）， sx x13 9 为 1（万元）。

　5.5 计算 1 月至 5月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 6月的调整费用 1万 分 X>=8，7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 五种情况讨论；得 X=8， 因此 sx x6 1 为 3（万元）。

　同理，可得 sx xi i 5 （ 1 7   i ）皆为 3（万元）， sx x13 8 为 2（万元）。

　5.6 计算 1 月至 6月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 7月的调整费用 1万 分 X>=8.5,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 六种情况讨论；得 X=8， 因此 sx x7 1 为 4.2（万元）。

　同理，可得 sx xi i 6 （ 1 6  i ）皆为 4.2（万元）， sx x13 7 为 3.2（万元）。

　5.7 计算 1 月至 7月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 8月的调整费用 1万 分 X>=9,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 七种情况讨论；得 X=8，

　因此 sx x8 1 为 5.8（万元）。

　同理，可得 sx xi i 7 （ 1 5  i ）皆为 5.8（万元）， sx x13 6 为 4.8（万元）。

　5.8 计算 1 月至 8月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 9月的调整费用 1万 分 X>=9.5,9=<X<9.5,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 八种情况讨论；得 X=8.5， 因此 sx x9 1 为 7.7.（万元）。

　同理，可得 sx xi i 8 （ 1 4  i ）皆为 7.7（万元）， sx x13 5 为 6.7（万元）。

　5.9 计算 1月至 9 月的库存保管费和短期损失费的最小值以及 10月的调整费用 1万 分X>=10,9.5=<X<10,9=<X<9.5,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5 九种情况讨论；得 X=8.5， 因此 sx x10 1 为 9.9（万元）。

　同理，可得 sx xi i 9 （ 1 3  i ）皆为 9.9（万元）， sx x13 4 为 8.9（万元）。

　5.10计算1月至10月的库存保管费和短期损失费的最小值以及11月的调整费用1 万 分 X>=10.5,10=<X<10.5，9.5=<X<10,9=<X<9.5,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5十种情况讨论；得 X=9.5， 因此 sx x11 1 为 12.4（万元）。

　同理，可得 sx xi i 10 （ 1 2   i ）皆为 12.4（万元）， sx x13 3 为 11.4（万元）。

　精选文库 — 6 5.11计算1月至11月的库存保管费和短期损失费的最小值以及12月的调整费用1 万 分 X>=11,10.5=<X<11，10=<X<10.5，9.5=<X<10,9=<X<9.5,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5十一种情况讨论；得 X=9.5， 因此 sx x12 1 为 15（万元）。

　sx x13 2 为 14（万元）。

　5.12 计算 1 月至 12月的库存保管费和短期损失费的最小值 分 X>=11.5,11=<X<11.5，10.5=<X<11，10=<X<10.5，9.5=<X<10,9=<X<9.5,8.5=<X<9,8=<X<8.5,7.5=<X<8,7=<X<7.5,6.5=<X<7，6=<X<6.5十二种情况讨论；得 X=9.5， sx x13 1 =17 万。

　总权值表: 五求解 使用 Dijkstra 算法求出最小值和路径 Dijkstra算法——算法步骤 S:具有永久标号的顶点集; l(v):v 的标记;f(v):v 的父顶点,用以确定最短路径; 输入加权图的带权邻接矩阵 w=[w(vi,vj)]nxm. （1）初始化令 l(v0)=0,S=?;?v?v0,l(v)=?; （2）更新 l(v),f(v) 寻找不在 S 中的顶点 u,使 l(u)为最小.把 u加入到 S 中,然后对所有不在 S中的顶点 v,如 l(v)>l(u)+w(u,v),则更新 l(v),f(v),即 l(v)?l(u)+w(u,v),f(v)?u; （3）重复步骤 2),直到所有顶点都在 S 中为止. MATLAB 程序（Dijkstra算法）见附表 1：

　MATLAB 求解程序见附表 2：

　六结论 调整三次，四月初七月初十月初各调整一次，s=1.4*4-1=4.6 万元。

　1~3 月，产量为 7万单位每月；4~6 月，产量为 10万单位每月，7~9 月，产量为 13万单位每月；10~12 月，产量为 16 万单位每月。

　附表 1； function[min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start; fori=1:n ifi~=start label(i)=inf; end,end s(1)=start;u=start; whilelength(s)<n fori=1:n ins=0; forj=1:length(s) ifi==s(j) ins=1; end,end ifins==0 v=i; iflabel(v)>(label(u)+w(u,v))

　精选文库 — 8 label(v)=(label(u)+w(u,v));f(v)=u; end,end,end v1=0; k=inf; fori=1:n ins=0; forj=1:length(s) ifi==s(j) ins=1; end,end ifins==0 v=i; ifk>label(v) k=label(v);v1=v; end,end,end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end min=label(terminal);path(1)=terminal; i=1; whilepath(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); i=i+1;

　end path(i)=start; L=length(path); path=path(L:-1:1); 附表 2：

　w=[011.11.4234.25.87.79.912.41517; 1011.11.4234.25.87.79.912.414; 1.11011.11.4234.25.87.79.911.4; 1.41.11011.11.4234.25.87.78.9; 21.41.11011.11.4234.25.86.7; 321.41.11011.11.4234.24.8; 4.2321.41.11011.11.4233.2; 5.84.2321.41.11011.11.422; 7.75.84.2321.41.11011.11.41; 9.97.75.84.2321.41.11011.10.4; 12.49.97.75.84.2321.41.11010.1; 1512.49.97.75.84.2321.41.1100; 171411.48.96.74.83.2210.40.100] [dis,path]=dijkstra(w,1,13)

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