高中数学三角函数图像教案模板专题合集

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式

sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA 万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinα

高中数学—三角函数公式大全

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

成都家教济南家教

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高中数学三角函数公式定理口诀

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；
向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

山西铁路工程建设监理有限公司

刘荣申

高中数学反三角函数的公式小结

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式:

三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

一、选择题（每题5分，共35分） 1．若sin θcos θ＞0，则θ在(

)．

A．第

一、二象限

C．第

一、四象限

B．第

一、三象限 D．第

二、四象限

2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是（ ） A、奇函数 B、非奇非偶函数 C、偶函数 D、不能确定

3.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（

） A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为（ ) A．2 B．

3 C． D． 225.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝( ） A.－2 B.－

11 C.D.2 226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（ ） A.－3，1

B.－2，2

C.－3，

32 D.－2，7．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的 A．y＝sin2x － ，x∈R

C．y＝sin2x ＋ ，x∈R π3π3π个单位，再把所得图332

1倍(纵坐标不变)，得到函数图象是(

)． 2

262πD．y＝sin2x ＋ ，x∈R

3xπB．y＝sin ＋ ，x∈R

二、填空题（每题5分，共10分）

8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________ 9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示, 则 ＝

三、计算题（共55分） 10．求函数f(x)＝lgsin x＋

11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.（10分）

2（5分） 2cosx1的定义域．(I)求f(x)的最小正周期；

(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函数y＝sin2x － 的图象的对称中心和对称轴方程．（5分）

13．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.，求通项；
（10分）

14.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通项an；
(2)求此数列前30项的绝对值的和.

15.设数列an满足a12,an1an322n1（15分）

（1）求数列an的通项公式；
（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

π6

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；
2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；
4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或\n

2.sinα-cosα>0(或\n

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|\n

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

第七教时

教材：三角函数的值在各象限的符号

目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，

并由此熟练地处理一些问题。

过程：

一、复习三角函数的定义；
用单位圆中的线段表示三角函数值

二、提出课题然后师生共同操作：

1．第一象限：.x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：.x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：.x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：.x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：

sincsc

为正全正

tancot

为正cossec

为正

2．由定义：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tancot(+2k)=cosec(+2k)=seccsc(+2k)=csc

三、例一 （P18例三略）

例二 （P18例四）求证角为第三象限角的充分条件是sin0(1)

tan0(2)

证：必要性：

若是第三象限角，则必有sin0,tan0

充分性：

若⑴ ⑵ 两式成立∵若sin0则角的终边可能位于第

三、第

四象限，也可能位于y轴的非正半轴

若tan0，则角的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立∴角的终边只能位于第三象限∴角为第三象限角

例三（P19 例五略）

四、练习：

1．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为…………（B）

A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情况都可能 2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B）

A：sin+cos0B：tansin0 C：coscot0D：cotcsc0

3．已知是第三象限角且cos20，问

是第几象限角？

解：∵(2k1)(2k1)

(kZ)

∴k22k34(kZ)则

2是第二或第四象限角

又∵cos20则

是第二或第三象限角

∴

必为第二象限角

sin2

4．已知1

2



1，则为第几象限角？

解：
由1

sin2

2



1∴sin20

∴2k22k+(kZ)∴kk+2

∴为第一或第三象限角

五、小结：符号法则，诱导公式

六、作业：
课本 P19练习4,5,6

P20-21习题4.36-10

第三教时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的

集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：

一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆

心角称为1弧度的角。

2rad

A A 如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad

1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 

lr

（l为弧长，r为半径）

3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360=2rad∴180= rad∴ 1=

180

rad0.01745rad

1rad180



57.305718\\"

例一把6730\\"化成弧度解：6730\\"

67

1





132

∴ 6730\\"180

rad67



8

rad

例二把3

5

rad化成度

解：335

rad

5

180



108

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》

进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

略如：3表示3radsin表示rad角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9

表）

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

正角 正实数零角 零 负实数

负角

任意角的集合实数集R

四、练习（P11练习12）

例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的

集合3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在x轴上的角的集合 S1|k,kZ2终边在y轴上的角的集合 S2

|k



2,kZ



3终边在坐标轴上的角的集合 S

3|

k



2,kZ



例四老《精编》P118-119

4、

5、

6、7

五、小结：1．弧度制定义2．与弧度制的互化

六、作业：
课本 P11练习

3、4P12习题4.

22、3

第十三教时

教材：诱导公式(3)——综合练习

目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。

过程：

一、复习：诱导公式

二、例

一、（《教学与测试》例一）计算：sin315sin(480)+cos(330)

解：原式 = sin(36045) + sin(360+120) + cos(360+30)

= sin45 + sin60 + cos30 =3

2

2小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1用“ ”公式化为正角的三角函数

2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数

3用“±”或“2  ”公式化为锐角的三角函数 例

二、已知cos(

6)

33

，求cos(

56

)的值。（

《教学与测试》例三） 解：
cos(

556

)cos[(

36

)]cos(6

)

3小结：此类角变换应熟悉 例

三、求证：

cos(k)cos(k)sin[(k1)]cos[(k1)]

1,

kZ

证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ)则：左边

cos(2n)cos(2n)sin[2n()]cos[2n()]



sincossin(cos)

1

若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ)则：

左边

cos[2n()]cos[2n()]sin(cos)sin[2(n1))]cos[2(n1))]



sincos

1

∴原式成立

小结：注意讨论

例

四、已知方程sin(  3) = 2cos(  4)，求

sin()5cos(2)的值。2sin(

32

)sin()

（《精编》 38例五）

解：
∵sin(  3) = 2cos(  4)∴ sin(3  ) = 2cos(4  )

∴ sin(  ) = 2cos( )∴sin =  2cos且cos  0

∴原式

sin5cos2cos5cos3cos2cossin



2cos2cos



4cos



3

4例

五、已知tan()a2,|cos()|cos,求

1cos()

的值。

（《精编》P40例八）

解：由题设：
tana20,|cos|cos,即cos0由此：当a  0时，tan \n

1cos

sec

tan2



1a

4当a = 0时，tan = 0, = k,∴cos = ±1，∵cos0∴cos = 1 ,原式1cos

1

a

4

(a0)

综上所述：

1cos()

a

例

六、若关于x的方程2cos2( + x)  sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范

解：原方程变形为：2cos2x  sinx + a = 0即 2  2sin2x  sinx + a = 0∴a2sin2xsinx22(sinx1

174)2

8∵ 1≤sinx≤1

∴当sinx1

174时，amin

8

；

当sinx1时，amax1

∴a的取值范围是[

178

,1]

三、作业：《教学与测试》P1085—8，思考题

《课课练》P46—4723，25，26

围。

第三十九教时

教材：复习二倍角的正弦、余弦、正切

目的：通过梳理，突出知识间的内在联系，培养学生综合运用知识，分析问题、解

决问题的能力。

过程：

一、复习：1．倍角公式

2．延伸至半角、万能、积化和差、和差化积公式

二、例题：

1．化简：2sin822cos8

解：原式22sin4cos422(2cos241)2(sin4cos4)22cos24= 2|sin4 + cos4| +2|cos4|

∵4(,3

)∴sin4 + cos4 \n

∴原式= 2(sin4 + cos4) 2cos4 = 2sin4  4cos4

2．已知sin(4)sin(4)1

6,(2,)，求sin4的值

解：∵sin(4)sin(11

4)6∴2sin(4)cos(4)3

∴sin[2(4)]13∴cos2 =1

3

又∵(

,)∴2 (, 2)

∴sin2 = cos22(122

3)23

∴sin4 = 2sin2cos2 = 2(

223)14239

3．已知3sin2 + 2sin2 = 1，3sin2  2sin2 = 0，且、都是锐角，求+2的值

解：由3sin2 + 2sin2 = 1得1  2sin2 = 3sin2∴cos2 = 3sin2

由3sin2  2sin2 = 0 得sin2 =

3sin2 = 3sincos

∴cos(+2) = coscos2 sinsin2 = cos3sin2  sin3sincos = 0 ∵0\n

4．已知sin是sin与cos的等差中项，sin是sin、cos的等比中项，

求证：cos22cos2(

4

)2cos2

证：由题意：
2sin = sin + cos①sin2 = sincos②

①22②：4sin2  2sin2 = 1

∴1  2sin2 = 2  4sin2∴cos2 = 2cos2由②：1  2sin2 = 1  2sincos

∴cos2 = (sin  cos)2 = [2cos(

4)]22cos2(4

)

∴cos22cos2(

4

)2cos2原命题成立

5．（《教学与测试》P129备用题）奇函数f (x)在其定义域(

2,2

)上是减函

数，并且f (1sin) + f (1sin2) \n

1\n

12\n

解之得：(2k+34, 2k+2)∪(2k+

2, 2k+4

) (kZ)

6．已知sin = asin(+) (a>1)，求证：tan()

sin

cosa

证：∵sin = sin[(+)] = sin(+)coscos(+)sin = asin(+)

∴sin(+)(cos  a) = cos(+)sin

∴tan()

sin

cosa

三、作业：《导学 创新》印成讲义

课外作业 P88复习参考题19—22

第十八教时

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑴

目的：通过例题的讲解，使学生对上述公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些

解题的技巧。

过程：

一、复习：1两角和与差的正、余弦、正切公式

2处理（以阅读、提问为主）课本P36-38例

一、例

二、例三

二、关于辅助角问题

例一化简cosxsinx 解：原式=2(

32cosx12sinx)2(sin

3cosxcos3sinx)23

x) 或解：原式=2(coscosxsinsinx)2

6

6

6

x)

例二《教学与测试》P111 例2

已知x0,5

2

，求函数y12x)12x)的值域 解：
y

x)512

12x)2

3

x)∵x0,2

∴

63x3∴

13x)2,1

∴函数y的值域是2



,22



三、关于角变换

例三已知

4x)5

cos2x13 ，0x4求的值

4

x)解：∵

513cos2(4x)

554

x)



4x)13即：4x)13

∵0x



12

4

∴

4

x

4



从而si(4

x)

13

而：cos2xcos(

x)



12

5

12

5

120

44x)

13131313169

120

∴cos2x16924 5

134x)

13

例四《教学与测试》P111例3

已知sin(2)2sin0 求证tan=3tan(+)

证：由题设：sin[(

)]2sin[()] 即：sin(

)coscos()sin2sincos()2cossin()∴3sin(

)cossincos()∴tan=3tan(+) 例五《精编》P48-49例三已知





34，cos()1213，sin()3

5

，求sin2的值解：∵cos()12

13

032

4∴0

∴sin()

5

4

13

∴

32又：sin()34

5∴cos()5

∴sin2=sin[(

)()]sin()cos()c0s()sin()=35121345556

136

5五、作业：课本 P41-429-17

四、小结：

第十教时

教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明

《教学与测试》第50课 目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

过程：

一、复习同角的三角函数的基本关系：

例：（练习、《教学与测试》P25 例一）

已知sincos54，求sincos的值。

解：(sincos)22525916

即：12sincos16 sincos32

二、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）

例

一、（见P25 例四）化简：1sin2440

解：原式1sin2(36080)1sin280cos280cos80 例

二、已知是第三象限角，化简1sin1sin1sin1sin（《教学与测试》例二）解：原式(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

(1sin)21sin)2sin1sin1sin2(1sin21|cos||cos| 是第三象限角，cos0原式1sincos1sincos2tan （注意象限、符号）

例

三、求证：cos1sin1sincos

（课本P26

例5） 证一：左边cos(1sin)cos(1sin)cos(1sin(1sin)(1sin)1sin2)cos2

1sincos右边

等式成立

（利用平方关系）证二：(1sin)(1sin)1sin2cos2且1sin0,cos0

cos1sin1sincos

（利用比例关系） 证三：cos1sincos2(1sin)(1sin1sincos)(1sin)coscos2(1sin2)(1sin)cos

cos2cos2(1sin)cos0

cos1sin1sincos

（作差） 例

三、已知方程2x2(31)xm0的两根分别是sin，cos，

求

sincos1cot1tan的值。

（《教学与测试》 例三）

解：原式sin2cos2sin2cos2sincoscossinsincossincos 由韦达定理知：原式31

2 （化弦法） 例

四、已知asecctand,bsecdtanc,求证：a2b2c2d2

证：由题设：asecctand(1)bsecdtanc(2)

(1)2(2)2：(a2b2)se2c(c2d2)ta2nc2d2 (a2b2)sec2(c2d2)sec2

a2b2c2d2

例

五、消去式子中的：xsincos(1)ytancot(2)

解：由(1)：x212sincossincosx212(3)

由(2)：ysincoscossin1sincossincos1y(4)

将(3)代入(4)：y2x1

2 （平方消去法）

例

六、（备用）已知sin2sin,tan3tan,求cos2 解：由题设：sin24sin2

①

tan29tan2

②

①/②：

9cos4cos

③

2

2 ①+③：
sin29cos24

s9co2s

41co2

co2s3 8

三、小结：几种技巧

四、作业：课本P27

练习

5，6，

P28

习题4.4

8，9

《教学与测试》P106

4，5，6，7，8，思考题

第十九教时

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵

目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。

过程：

一、公式的应用

例一 在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

证一：在△ABC中，∵A+B+C=∴A+B=C

从而有tan(A+B)=tan(C)即：

tanAtanB1tanAtanB

tanC

∴tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

证二：左边= tan(A+B)(1tanAtanB) +tanC=tan(C) (1tanAtanB) +tanC=tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边

例二求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)……(1+tan44) 解：
(1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44=1+tan45(1 tan1tan44)+ tan1tan44=2

同理：(1+tan2)(1+tan43)=2(1+tan3)(1+tan42)=2……∴原式=222

例三《教学与测试》P113例一（略）口答 例四《教学与测试》P113例二已知tan和tan(



4

)是方程x2

pxq0

的两个根，证明：pq+1=0

证：由韦达定理：tan+tan(





4

)=p ，tan•tan(

4

)=q

tantan(



)

∴1tan



4

tan[(



4

)]

4

p1tantan(



)

1q

4

∴pq+1=0

例五《教学与测试》例三已知tan=3(1m)

，tan()=

3

(tantan+m)

又,都是钝角，求+的值解：∵两式作差，得：tan+tan=3

(1tantan

即：

tantan1tantan



3

∴tan()

3又：,都是钝角∴\n

4

3二、关于求值、求范围

例六已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求

sin()cos()

的值。

解：∵

sin()cos()



sincoscosintancoscossinin



tan1tantan

tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根∴tanptan)ptantan2

∴

sin(cos()



12



p

3例七求

2cos10

sin20



cos20



的值。

解：原式=

2cos(30

20

)sin20



30sin20sin20



cos20





2cos30cos202sincos20



=

3cos20

sin20

sin20



cos20





三、作业：《教学与测试》 P111-114

53、54课中练习题

第二十八教时

教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性

目的：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
掌握正、

余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

过程：

一、复习：y=sinxy=cosx(xR)的图象

二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1．（观察图象） 1正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx, cos(2k+x)=cosx也可以说

明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

2．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；

T\n

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）3T往往是多值的（如y=sinx2,4,„,-2,-4,„都是周期）周期T中

最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期）

三、y=sinωx, y=cosωx的最小正周期的确定例一 求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+



3

)2 y=cos2x3 y=3sin(x2+5)

解：1 令z= x+3

而 sin(2+z)=sinz即：f (2+z)=f (z)

f [(x+2)+

3]=f (x+

3

)∴周期T=2 2令z=2x∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f (x+)=f (x)∴T=

3令z=x+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(x2

52+5

+2)

=3sin(

x42

5

)=f (x+4)∴T=4小结：形如y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0, xR)周期T=

2



y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

例二 P54 例3

例三 求下列函数的周期：
1y=sin(2x+

4)+2cos(3x-6

)2 y=|sinx|3 y=23sinxcosx+2cos2x-1 解：1 y1=sin(2x+4

)最小正周期T1=y2=2cos(3x-6) 最小正周期 T2=2

3 ∴T为T1 ,T2的最小公倍数2∴T=2

2T=作图-

 2 3 注意小结这两种类型的解题规律3 y=3sin2x+cos2x∴T=

四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期

五、作业：P56 练习

5、6P58习题4．83

《精编》P8620、21

补充：求下列函数的最小正周期：
1．y=2cos(x



4

3

)-3sin(x4

)

2．y=-cos(3x+2)+sin(4x-3

) 3．y=|sin(2x+

6)| 4．y=cos2

sin+1-2sin22

第二十教时

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶

目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题）

过程：

一、求值问题（续）

例一 若tan=3x，tan=3x, 且=6，求x的值。

解：tan()=tan=

363 ∵tan=3x，tan=3x

∴3tantantan3x3x13312(3x3x21tanxx) ∴3•3x3•3x=23 即：3(3x)2233x30 ∴3x3或3x33(舍去) ∴x12

例二 已知锐角, ,  满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。解：
∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin

∴sin

同理：∵coscos=cos ∴ cos cos = cos

②

①2+②2: 1+12cos（）=1 ∴cos（）=12 ∵02 02 ∴20 ∴=3

二、关于最值问题

例三 已知tan，tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根，求tan(+)的取值范围。

解：∵tan，tan是方程mx22x7m32m0的两个实根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：tantan27m3 ∴tan()27m3 tan2mtanm2 为求范围：tan()27111749m3(m)223(m)61

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2

2 ∴当117m76时，3(m)6494912有最大值12 2 当1m2或1m13时，3(1m)764912有最小值2 2∴73323(1m)76491222 即：tan()73,223 ∴pq+1=0 例四 若2x2，求f (x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时

的x值。

解：
f (x)=3sinx+cosx=23sinx122cosx2sin(x)

6∵22x2 ∴3x63 ∴32sin(x6)1 32sin(x6)2

即：3f(x)2 当且仅当x63 ，x2时 f (x)min=3

当且仅当x62 ，x



3时 f (x)max=2

例五

已知f (x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,≤1，设

]时，-5≤f (x)2g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b

22 解：
f (x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x[0,

671] ∴2x ∴sin(2x)1 266626 又：
a>0 ∴-2a

6 ∴b2asin(2x)2ab3ab ∴bf(x)3ab

6 ∵-5≤f (x)≤1 ∴b5b5

3ab1a2 ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2- ∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3

三、作业：《精编》 P61

6、

7、11

P62 20、

22、

23、25 P63 30

5449 ∵t[-1,0] 8

第十六教时

教材：两角和与差的正弦

目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正

弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

过程：

一、复习：两角和与差的余弦练习：1．求cos75的值

解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30

=

23222212

2

4

2．计算：1 cos65cos115cos25sin1152 cos70cos20+sin110sin20

解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0 3．已知锐角,满足cos=3cos(+)=5

5

13

求cos.解：∵cos=3

∴sin=45

5

又∵cos(+)=

513\n

13

∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin

=

51335121345

33

65

（角变换技巧）

二、两角和与差的正弦

1．推导sin(+)=cos[2(+)]=cos[(

)]

=cos(

2)cos+sin(

)sin=sincos+cossin 即：+)=sincos+cossin（S+） 以代sin()=sincoscossin（S） 2．公式的分析，结构解剖，嘱记 3．例一不查表，求下列各式的值：

1 sin752sin13cos17+cos13sin17 解：1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45

=1

22



232222

4

2原式= sin(13+17)=sin30=

1例二求证：cos+3sin=2sin(



6

+) 证一：左边=2(12

cos+

sin)=2(sin6cos+cos

6 sin)

=2sin(



6

+)=右边（构造辅助角） 证二：右边=2(sin

6cos+cos

6

sin)=2(12cos+2 sin)

= cos+sin=左边

例三〈精编〉P47-48例一 已知sin(+)=2,sin()=2 求tan3

5

tan

的值

解：
∵sin(+)=2

∴sincos+cossin=23

3

①sin()=2∴sincoscossin=255

②①+②：sincos=

8

15

8

tansincos ①②：cossin=2

tan=

cossin152 1

515

4三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”

“逆向运用公式”

P38练习2中①②3中①5中①③

P40-41习题4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精编〉P60-6

12、

3、4

四、作业：

第二十一教时

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，

体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

过程：

一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

让学生板演得下述二倍角公式：

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan2

2tan

1tan2

cot2cot21

2cot

剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，

如：

4是8

的倍角。

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos21cos22,sin21cos22

这两个形式今后常用

三、例题：

例

一、（公式巩固性练习）求值：

1．sin2230’cos2230’=1sin452

24

2．2cos2

81cos2

42

3．sin2

28cos28cos42

4．8sin48

cos48

cos24

cos12

4sin24

cos24

cos12

2sin12

cos12

sin6

12

例

二、1．(sin

512cos512)(sin512cos5555312)sin212cos212cos62

2．cos4

2sin42(cos22sin22)(cos22sin2

)cos3．

11tan11tan2tan

1tan2

tan2

4．12cos2cos212cos22cos212

例

三、若tan  = 3，求sin2  cos2 的值。

解：sin2  cos2 =

2sincossin2cos22tantan21sin2cos21tan2

7

5例

四、条件甲：sina，条件乙：sin2cos

a，那么甲是乙的什么条件？

解：sin(sin2cos

2

)2a即|sin2cos2|a

当在第三象限时，甲乙；
当a > 0时，乙甲

∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。

例

五、（P43 例一）已知sin513,(

,)，求sin2，cos2，tan2的值。解：∵sin513,(12

2,)∴cossin21

3∴sin2 = 2sincos = 120

169

cos2 = 12sin2119

169

tan2 = 120

119

四、小结：公式，应用

五、作业：课本P44练习

P47习题4.71，2

第八教时

教材：同角三角函数的基本关系

目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运

用进行三角函数式的求值运算。

过程：

一、复习任意角的三角函数的定义：

计算下列各式的值：

1.sin290cos2902.sin230cos2303.tan45cot245

sin

4.

3si3

5.6.ta5co5cos

3

co366

4二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）

引导猜想：
sin2cos21

sin

cos

tantancot12．理论证明：（采用定义）

1x2y2r2

且sin

yr,cosxr

sin2

co2s12当ksin2(kZ)时，cosyrxryrrxy

x

tan

3当k且k2时,tancotyx

xy

1

3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2tan21cs2cco2t

1sin

costan这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：

cos

sin

cottancot1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：cscsin1seccos1

4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。5．注意：

1“同角”的概念与角的表达形式无关，

si

如：
sin23cos231taco

22

2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，

且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。

三、例题：

例

一、（课本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。

例

二、（课本P25例二）略

注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。

例

三、（课本P25例三）略

实际上：sec2tan21即cos2

11tan2





当为第

一、四象限角

cos1

ta2n



当为第

二、三象限角

ta2n

而sin

tancos 

当为第

一、四象限角

costan

tan2



tan当tan2

为第

二、三象限角

四、小结：三种关系，八个公式

五、作业：P27练习1—4

P27—28习题4．41—4

第五单元三角函数的证明与求值

一.选择题

(1) 若为第三象限，则A．3 (2) 以cossin

2

2sincos

2的值为（）

D．－1 能成

B．－

3下

各

C．1 式

中立的是

（）

A．sincos

12

B．cos

2

且tan2 C．sin

132且tan3D．tan2且cot

12

(3) sin7°cos37°－sin83°cos53°值A．

2

B．132 C．2 D．－2

(4)若函数f(x)=sin12x, x∈[0, 

3], 则函数f(x)的最大值是(A 12B 2

3

C 22D 2

(5) 条件甲sina，条件乙sin

2

cos



2

a，那么（A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的充要条件

C．甲是乙的必要不充分条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

(6)、为锐角a=sin()，b=sincos，则a、b之间关系为（） A．a＞bB．b＞a C．a=bD．不确定 (7)(1+tan25°)(1+tan20°)的

()

A -2B2C1D -1(8) 为第二象限的角，（）A．tan

2＞cot



2B．tan

2

＜cot

2

C．sin







2

＞cos



2

D．sin

2

＜cos

2

(9)在△ABC中，sinA=45，cosB=1213，则cosC等于A．5665B．1656

163365 C．6

5或65 D．65

(10) 若a>b>1, P=algb, Q=

12(lga+lgb)，R=lg ab

2

, 则（A．R

二.填空题

(11)若tan=2，则2sin2－3sincos

（ )

值

则必 （） ） ）

是有

1）

(12)若sin－cos7

，∈（0，π），则tan。

(13)sincos

，则cossin范围。

(14)下列命题正确的有_________。

①若－2＜＜＜2，则范围为（－π，π）；
②若在第一象限，则2

在

一、三象限；
③若sin=m342m3m5，cosm5，则m∈（3，9）；
④sin2=5，cos

42=

5，则在一象限。

三.解答题

(15) 已知sin(＋)=－35，cos()=1213，且

＜＜＜34，求sin2.(16) （已知42a)1

242a)4,a(4,2

),求2sinatanacota1的值.(17) 在△ABC中，sinA+cosA=

，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.(18)设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.

参考答案

一选择题:1.B

[解析]：∵为第三象限，∴sin0,cos0

则

cos2sin

sin2



coscos2

|cos|2sin

|sin|12

32.C

[解析]：
若sin

12且tan3则2k



6(kZ)

3.A

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°- 37°)

4.D

[解析]：函数f(x)=sin12x, ∵x∈[0, 1

13],∴2x∈[0, 6

],∴sin2x

25.D

[解析]：sin(sin





2cos2)2|sin2cos2

|, 故选D

6.B

[解析]：∵、为锐角∴0sin1,

0cos

1又sin()=sincoscossin

∴ab

7.B

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+tan250tan200tan250tan200

1tan(250200)(1tan250tan200)tan250tan20011tan250tan200tan250



28.A

[解析]：∵为第二象限的角

∴

2角的终边在如图区域内∴tan

2＞cot2

9.A

[解析]：∵ cosB=

12

1

3，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A 10.B

[解析]：∵a>b>1,∴lga>0,lgb>0,且lgalgb

∴lgalgb

lgalgb1ab

22lg(ab)lgablg

故选B 二填空题:11．

[解析]：2sin2

－3sincos=2sin23sincos2sin2cos2tan23tan

tan2

1

12．

43或3

[解析]：
∵sin－cos75>1，且∈（0，π）∴∈（

，π）∴ (sin－cos)2

(75)2∴2sincos=242

5∴sin+cos1

∴sin=433

45cos=5或sin=5cos=5

tan=43

3或4

13．



12,1

2[解析]：∵sincoscossin=sin()∴cossin=sin()1

∴



312cossin2

又sincoscossin=sin()

∴cossin=1

sin()∴13

2cossin2

故11

2cossin2

14．②④

[解析]：∵若－

2＜＜＜

，则范围为（－π，0）∴①错 ∵若sin=m342m5，cosm

m5，则m∈（3，9）

又由sin2cos2

1得m=0或 m=8

∴m=8 故③错

三解答题: (15) 解:∵



＜＜＜34∴32,04

∵sin(＋)=－35，cos()=124

513∴cos(＋)=5

sin()=13

∴sin2sin[()()]=

56

65

.(16)解: 由sin(



42a)42a)= 42a)42a) =1224a)12cos4a14

, 得cos4a12.又a(5

4,2),所以a12

.于是

2sin2

tancot1cos2sin2cos22cos2

sincoscos2

sin2

==(cos55

362cot6

)=(22)52 (17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=2

，

∴cos(A－45°)= 1

.

又0°

11=－2－3.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

24

.∴S1263ABC=2AC²AbsinA=1

2·2²3²4=4(2+6).

(18)解: (Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(13

2sinx+2cosx)=2 sin(x+3),

∴方程化为sin(x+

)=-a2.

∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin(x+33)≠sin

3=2

.又sin(x+



)≠±1 (∵当等于2和±1时仅有一解),

∴|-a2|

≠2.即|a|

∴a的取值范围是(-2, -)∪(-3, 2).

) ∵α、β是方程的相异解,

∴sinα+cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.

①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.∴ 2sin

cos



-23sin





sin

2

=0, 又sin



≠0,

∴tan



=

23

.2tan



∴tan(α+β)=

2tan

2

=.

(Ⅱ

江苏省连云港灌云县第一中学高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式（1）教案 新人教A版必修1 ‘

教学目标：

1.通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；
2.通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题；

3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高解决问题的能力.

教学重点：

诱导公式的推导和公式的灵活运用． 教学难点：

诱导公式的灵活运用．

教学方法：

学生自学、教师引导．

教学过程：

一、问题情境

问题1 我们已经学习了任意角的三角函数的概念．三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型．那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？ 问题2 已知任意角，观察角的终边绕着原点旋转的过程，在这一过程中，有哪些东西会周而复始地重复出现？

问题3 转整圈，同名三角函数值周而复始，那么转半圈呢？

（学生研究后发现，正切值周而复始，正弦与余弦值都发生了变化，并发现了变化规律）

问题4 转半圈的实质是关于原点对称，那么是否存在具有其它的对称关系时有三角函数值周而复始的性质呢„„

（学生研究后发现，当角的终边分别关于x轴、y轴对称时，分别有余弦值周而复始、正弦值周而复始„„）

二、学生活动

充分利用单位圆，讨论探究角与180的终边的关系；
如果终边具有一定的特殊关系，

如关于原点对称，它们的三角函数关系如何？ 利用三角函数定义，可以在终边上找出对应的两点，如关于原点对称的两点P(x,y),P\\"(x,y)，则可以得到三角函数之间的关系.进一步研究,180与的终边关系及三角函数关系.

三、建构数学

1．引导学生认识“诱导公式”的由来，是根据终边上的点坐标间的关系得到的，强化对公式的理解；

2．记忆诱导公式的形式，点拨公式的运用；

3．前4组诱导公式可以将任意角的三角函数转化成一个[0,指明转化的步骤.

四、数学运用 1．例题.例1 求值：
（1）sin2]范围内的角的三角函数，并711 （2）cos （3）tan(1560) 64例2 判断下列函数奇偶性．

（1）f(x)1cosx （2）g(x)xsinx

2．练习.（1）课本P21练习1． （2）课本P21练习2． （3）课本P21练习4．

五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：
1．诱导公式的推导与形式；

2．诱导公式的简单应用.

三角函数教案模板（共8篇）

三角函数教学设计（共17篇）

任意角三角函数教学设计（共6篇）

初中数学一次函数教案模板（共11篇）

函数数学教案模板（共8篇）

推荐访问:合集 教案 函数 高中数学 图像