索赔强度为马氏链的无赔款优待模型
(广东商学院数学与计算科学系，广东 广州 510320)
摘 要：文章介绍了无赔款优待模型在无赔款优待模型中，假设在一年中索赔事件的发生服从强度为一马氏链的泊松分布，利用matlab计算在第二三年中索赔事件发生的强度分布以及被保险人所处折扣等级的分布，进一步通过1 000次循环计算得到两者的极限分布。
关键词：无赔款优待模型；马氏链；matlab；极限分布
中图分类号：O211.67 文献标识码：A 文章编号：1007—6921(2008)12—0044—02
1 模型的引入
无赔款优待（No claim Discount ,NCD）是一种奖励制度。保险公司对于在上一个保险期限内未发生赔案的保户，在本年续保时可享受无赔款减收保险费优待，NCD制度最早始于20世纪50年代中期的欧洲，后来慢慢被世界上大多数国家所接受，各国在实践中逐步形成了符合自身国情的折扣组别和转移规则，目前市场上实际应用的NCD体系是各式各样的。NCD在汽车保险中的应用尤为广泛。其优点有：①NCD有助于减少各费率组别中的风险非均匀性，使保险公司能收到真实反映单一风险的保费，一直保费相同的一类中的风险尽可能同质。②可避免小额赔款发生，在降低索赔成本和管理费用的同时，也降低了保费，从而增强了保险人的竞争力。③可鼓励司机安全行车，避免驾车人心理风险，对减少交通事故，保持社会安定有促进作用。
一个完整的NCD系统应该包括三个要素：保费等级；起始组别；转移规则［1］。定义 设(Ω,F,P)是一概率空间，E为可数集，T={0,1,2,…}为时间参数集，｛Xt∶t∈T｝是一族定义在(Ω,F,P)上取值于E的随机变量（即对于任何t∈T，j∈E，有｛Xt=j｝∈F ），如果对任意的n1,0t1＜∧＜tn及任意的C1,∧,Cn∈E，均有：
P{Xtn=Cn｜Xt1=C1,∧,Xtn-1=Cn-1}=P{Xtn=Cn｜Xtn-1=Cn-1}
则称{Xt∶t∈T}为一个离散时间可数状态的马尔可夫过程，简称可数状态的马尔可夫链，E称为其状态空间［2］。
根据以上描述，在概率空间(Ω,F,P)中，E={1，2，…，n}，T={0,1,2,…}，{Xt∶t∈T}是表示t时刻被保险人所处状态的随机变量序列，由于投保人在下一年的保费级别只取决于他在前一年的索赔记录，所以对任意的t1，及任意的C1,∧,Cn∈E，显然有：.gif)
2 数据的检验结果
如果规定保费级别的升降级规则为:一年中没有发生索赔情况下，保单持有人便升入高一级的折扣组或者停留在最高折扣组n;在一年中只发生一次索赔，则降一级或者停留在最低折扣组;在一年中发生两次以上索赔，则保单持有人降至最低折扣组0。
则转移概率可以写为如下矩阵的形式
在第二年初被保险人的等级状态为U2=(0.2592,0.7408,0,0,0,0)
第二年初被保险人索赔发生强度状态H2=(0.1000,0.6000,0.3000)
在第二年内被保险人的等级状态为
在第三年初被保险人的等级状态为：
U3=(0.1960,0.2084,0.5956,0,0,0)
第三年初被保险人索赔发生强度状态：
H3=(0.3400,0.4400,0.2200)
……
在第1 000年初被保险人的等级状态，即等级状态的极限为
U1000=(0.0197,0.0197,0.0219,0.0372,0.1363,0.7652)
第1 000年初被保险人索赔发生强度状态为，即强度状态的极限为
H1000=(0.5000,0.3333,0.1667)
当输入U1=(0.1,0.3,0,0.4,0.15,0.05)，
同样可得
U1000=(0.0197,0.0197,0.0219,0.0372,0.1363,0.7652)
H1000=(0.5000,0.3333,0.1667)
可以说明只要R固定，则得到的等级状态与强度状态的极限是唯一确定的。
U1000=(0.0283,0.0282,0.0308,0.0490,
0.1513,0.7125)
所以，定理：在索赔强度为马氏链的无赔款优待模型中，等级状态的极限分布可以由R唯一决定。保险公司可以根据被保险人等级状态的极限分布，制定相应的计划，使得所收取的保费能够超过索赔总额，以使得公司能够长期运行下去，并且逐步发展壮大。
［参考文献］
［1］ 谢志刚，韩天雄.风险理论与非寿险精算［M］.天津：南开大学出版社，2000：284～286.
［2］ 胡迪鹤.随机过程论［M］.武汉：武汉大学出版社， 2005：201～202.
［3］ Samuel Karlin 等.随机过程初级教程［M］.北京：人民邮电出版社，2007,(9):44～51.
［4］ 张连增.精算学中的随机过程［M］. 北京：高等教育出版社，2006：4～10.
［5］ 刘惠颖.matlab r2006a基础教程［M］.北京：清华大学出版社，2007131～140.
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