概率与其他知识综合考查

感受数学知识的整体性，有关概率的问题常与数学的其他知识融合，将多个知识点叠加，从而使问题具有较强的综合性，考查同学们灵活运用知识的能力.下面对一些常见的综合性试题的特点及解题思路进行举例说明.

一、概率与实数的综合

例1 如图1，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.

（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果.

（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率. 图1

解：（1）列表或画树状图如下：

（2）由列表或树状图可知，数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.所以算术平方根分别是：，2，，2，，3，，3，2.

设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A，所以P（A）=.

点评：在本题的求解过程中，一定要正确理解算术平方根与无理数之间的区别和联系，两者不能混为一谈.

二、概率与分式的综合

例2 有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写有整式x+1、x、3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.将第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母.

（1）请写出抽取两张卡片的所有可能出现的结果（用树状图或列表法求解）；

（2）试求抽取的两张卡片的结果能组成分式的概率.

解：（1）树状图如图所示：

（2）由树状图或表中信息可知，共有6种结果，其中4种结果是分式，所以P（分式）==.

点评：注意求解第（2）小问时一定要理解分式的定义.

三、概率与整式的综合

例3 在一个袋中，装有5个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1、2、3、4、1这5个数字. 小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字恰与代数式x2-2x（x-1）+3（x -1）2-2的化简结果相同的概率是 .

解：化简x2-2x（x-1）+3（x-1）2-2

=x2-x2+2x+3（x2-x+1）-2

=x2-x2+2x+x2-2x+3-2=1.

小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字恰与代数式x2-2x（x-1）+3（x-1）2-2的化简结果相同的概率是.

点评：本题考查了整式的运算和计算概率，属于一次事件，可以直接运用概率的计算公式求取概率.

四、概率与不等式的综合

例4 已知关于x的不等式ax+3>0（其中a≠0）.

（1）当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；

（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1.将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率.

解：（1）易求得不等式的解集为x<； 在数轴上正确表示此不等式的解集（略）；

（2）取a=-1，不等式ax+3>0的解为x<3，不等式有正整数解.

取a=-2，不等式ax+3>0的解为x<，不等式有正整数解.

取a=-3，不等式ax+3>0的解为x<1，不等式没有正整数解.

取a=-4，不等式ax+3>0的解为x<，不等式没有正整数解.

……

∴整数a取-3至-10中的任意一个整数时，不等式没有正整数解.

∴P（不等式没有正整数解）==.

点评：本题将概率与不等式的知识交汇在一起，考查如何用列举法求概率，同时也考查了不等式的解法.

五、概率与方程的综合

例5 如果m是0、1、2、3中的仼一个数，如果n是0、1、2中的仼一个数，那么关于一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率 为______.

解：一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根，由根的判别式大于或等于0得，∵4m2-4n2≥0，∴m≥n所有可能出现的结果如下表所示：

可知在12种情况下，9种取值方程有实数根，所以有实数根的概率为=.

点评：本题很好地将概率与一元二次方程根的判别式相结合，可列表或画树状图将所有可能的结果列举出来，从中找到符合条件的结果，从而求出所给事件的概率.

六、概率与函数的综合

例6 抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+n的一次项系数m和常数项n的值.

（1）这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果）

（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象的顶点恰好在x轴上的概率并说明理由.

解：（1）可以得到6×6=36个不同形式的二次函数.

（2）y=x2+mx+n=（x+）2+n-

∵二次函数图象的顶点在轴上，

∴n-=0

∴m==2（其中n、m为1～6的整数），根据上式可知，当取1～6中的完全平方数时，上式才有可能成立.

∴n的值只能取完全平方数1和4，

通过计算可知，当n=1、m=2和n=4、m=4时，满足n-=0，

由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象的顶点在轴上的概率是：=.

点评：本题把抛掷骰子与二次函数相结合，设置概率问题情境，同时考查了二次函数的意义、性质、概率的计算方法，具有一定的综合性.

七、概率与几何的综合

例7 一次数学活动中，黑板上画着如图2所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张.请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由； 图2

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，求使△BEC不能构成等腰三角形的概率.

解：（1）能.

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE≌△DCE.

∴BE=CE，∴△BEC是等腰三角形.

（2）树状图：

所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

由树状图可以看出，抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，不能构成等腰三角形的结果有4种，所以使△BEC不能构成等腰三角形的概率为.

点评：解题的关键是熟练应用等腰三角形的性质与判定；树状图法适用于需要两步或两步以上完成的事件，概率=所求情况数与总情况数之比.

八、概率与统计图的综合

例8 十·一”假期，温泉公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司将购买的前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图3所示.根据统计图回答下列问题：

（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；

（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的情况下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______；

（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“抛掷正四面体骰子一次，若掷得着地一面的数字不小于2，车票给小张，否则给小李.”试分析这个规则对双方是否公平.

解：（1）由条形统计图知，前往 A地的车票有30张；

前往C地的车票占全部车票的百分数：×100%=20%.

（2）由条形统计图知，车票的总张数为100张，去 B 地的车票有50张，所以P （B）==.

（3） 由于掷得着地一面的数字不小于2的结果有三种，而小于2的结果只有一种，所以小张获得车票的概率为P=；而小李获得车票的概率为1-=.

所以这个规则对双方都不公平.

点评：本题是概率与条形统计图的综合题.首先从已知的条形统计图中获取信息，确定去A、B、C三地各自的车票张数，再根据概率的定义和条形统计图的有关知识进行解答.

上期《圆》强化练习参考答案

1.B；2.B；3.A；4.B；5.，1；6.；7.48；8. 6或2； 9.=50°，=50°，=80°；

10. 解：（1）DF与⊙O相切.

∵∠CDB=∠CAB，又∵∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，∴AC∥DF.

∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF.

∴DF与⊙O相切.

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，

∴AE=AC=×8=4.

∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=AB=×10=5.

在Rt△AEO中，OE===3.

∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD.

∴=，∴=.

∴DF=.

11. 解：（1）直线AB与⊙P相切.

图略，过P作PD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵AC=6 cm，BC=8cm，

∴AB==10cm.

∵P为BC中点，∴PB=4cm.

∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，

∴△PBD∽△ABC.∴=，

即=.∴PD=2.4（cm）.

当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）.

∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.∴直线AB与⊙P相切.

（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径.

∴OB=AB=5cm.连接OP，图略.

∵P为BC中点，∴OP=AC=3cm.

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切.∴5-2t=3或2t-5=3，∴t=1或4.

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.

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