线性代数在经济学中的应用

大学生开设的重要课程，作为一门基础学科，在经济管理学、应用数学、生物工程、计算与运筹数学等众多学科都有着广泛的应用，尤其在经济学中具有重要的应用价值。历史上，许多经济学家将很多具有应用价值的数学理论推广到经济学里，比如哈里·马柯维茨在1952年在研究证券投资组合时，为了深入研究不同运动方向、类别证券之间的内在联系，大量地使用了线性代数和概率论的数学理论，最终构建了现代资产组合理论。后来，又有两位经济学家威廉·厦普和约翰·琳特纳为定义CAPM（资本资产定价模型），继续将大量的数学理论应用到经济学中。于是，在马柯维茨对资产组合理论研究的基础上，威廉·厦普和约翰·琳特纳分别发表了两篇经济学中具有重要基础地位的资本资产定价模型论文，一篇是1964年发表的《资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论》，另一篇则是1965年发表的《风险资产的价值，股票资产组合的风险投资选择，资本预算》。

经济学中一个最基本也是最重要的概念是资本资产定价模型，而经济学中最基本的问题就是投入产出的问题。在经济学里，为了研究各项经济政策对经济的影响、预测各项经济数据、以及社会问题中的各项数据处理分析，常常会用到投入产出方法。投入多少，产出多少，显然是一个简单的数学问题。在数学模型中，投入产出的分析事实上就是在解线性方程，也就是以线性代数理论为基础。因此，解决好投入产出的问题就是线性代数在经济学中最卓有成效的应用。

2 应用介绍

2.1 经济学中的数学原理

刚刚谈到，投入产出问题实质上是线性代数中的数量关系；另外，线性规划实质上是数学中的运筹学原理，这两者所处理的模型、描述内容方面都在线性代数里面。具体来讲，通过引入直接消耗系数矩阵的方法在投入产出分析中，以此解决部门之间的平衡联系，最后通过解线性方程组求出所需的未知数。线性规划问题本身就是数学内容，线性规划最重要的方法就是单纯型表的应用，而单纯型算法的得力工具是矩阵的初等变换。实际上就是用非基变量表达基变量和目标函数的系数矩阵。

2.2 线性经济模型

矩阵是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的重要工具，显然矩阵是线性代数的基础内容。上面谈到，线性规划问题用到了很多的线性代数相关知识，作为更重要的应用，线性代数在计算数学中也有重要的意义，因此我们可以将线性代数看作是完全的应用型学科。简单介绍一下，投入产出分析的发展历史，它是上个世纪三十年代由美国经济学家列昂惕夫（1906～1999）首先提出的经济分析的一种基础方法，简单说就是问我们要生产出某种产品，在一定的条件制约下，需要投入多少资源？投入产出分析是后来许多经济模型的原始基础，下面我们介绍一个典型的投入产出方法的例子。按照不同的计量单位，投入产出表大致可以分为实物型和价值型两种。

从以上两个表反映出，无论是实物型和价值型投入产出型表，变量之间的运算归根到底还是线性代数方程和线性规划问题。以实物型和价值型投入产出型表为基础，产生了大量的行业投入产出模型，如：地区投入产出型模型、部门投入产出型模型、企业投入产出型模型等。

2.3 线性规划与投入产出结合的步骤

在投入产出过程中，实物产品种类繁多，彼此之间存在着生产、分配、使用等相互联系。从生产角度来看，某一个产品的生产可能会影响其它产品的生产，或直接消耗其它产品。产品之间的联系有单向和双向联系，直接联系和间接联系，顺联系和逆联系等。这样一来，各种产品形成了复杂的联系，如何有效分析这些产品的数量关系就成了线性规划的主要问题。

首先，建立实物型投入产出的数学模型，尽量将数学模型做到数量化、简单化，利于求解。其次，引入直接消耗系数、完全消耗系数、最终产品系数。最后，利于线性代数的矩阵理论求解。

参考文献

[1]徐建华.投入产出与线性规划相结合[J].财税理论与实践，1996，（3）：4750.

[2]张莹华.线性代数及其在经济领域中的应用与作用[J].黑龙江科技信息，2011，（30）：221.

[3]龚友运.线性代数在经济分析中的应用[J].大学教育，2013，（11）：4447.

作者简介：

王静，西南交通大学交通运输规划与管理专业毕业，硕士，西安铁路职业技术学院讲师。

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