静电场与力学综合问题热点解析

静电场与力学的综合问题一向是高考的热点之一,由于此类问题涉及应用力学知识去分析现象、探究规律,往往对考生提出了较高的能力要求.在高考一轮复习中,系统整理应用力学方法解决电场问题的思路和手段,对提高分析能力、熟练掌握力学技巧的应用等大有益处.纵观近几年全国各地的高考试卷,涉及静电场与力学的综合问题的题型在悄悄的变化,如“电场中的圆周运动问题”的考查频率已有所降低,而近年来高考的热点主要集中在以下两种类型.

一、 直线运动问题

带电体在电场中的直线运动主要包括:匀速直线运动、匀变速直线运动、往复运动(分周期性和无周期性两种)等,一般的处理方法是先进行受力分析,确定带电体的状态后,再用牛顿运动定律、动能定律或动量守恒定律等求解.

图1

例1 现有若干完全相同的小球(附绝缘细杆),每个小球的电荷量为q,质量为m,绝缘细杆的长度为L,质量不计,如图1所示.MN为水平放置的一对金属板,其上板的中央O处有一小孔,板间存在竖直向上的匀强电场.现将5节这样的小球串接成组后竖直放置于O点并将其由静止释放,在运动过程中它始终保持竖直,现发现在第2个(自下往上)小球进入电场后到第3个小球进入电场前这一过程中,小球组做匀速运动,求:

(1)两板间的电场强度E;

(2)第几个小球进入电场时恰好速度为零?

(3)若增加小球组小球的数目,重复上述过程,但仍要求某一小球进入电场时恰好速度为零,则至少需增加几个小球?

思路点拨 从受力分析的角度看小球组进入电场后先做匀加速运动再做匀速运动,最后做匀减速运动,(1)问涉及匀速运动为平衡状态,应从力的角度解答,(2)、(3)问如用动能定理可忽略中间过程而使解题大为简化.

解析 (1)小球组做匀速运动时,由平衡条件知

2Eq=5mg,即E=2.5mgq.

(2) 设第n个小球进入电场时速度恰好为零,由动能定理知:

(n-1)5mgL-EqL[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=0,

即(n-1)5mgL=EqLn(n-1)2,

得n=4.

(3) 设增加到x个小球,当第n个小球刚进入时,若恰好速度为零,则有

x(n-1)mgL=EqL[(n-1)+(n-2)+…+2+1],

得x=1.25n,x、n取正整数,n最小为4,其次为8,x最小为5,其次为10,故至少应增加5个球.

解后反思 对数学方法解出的结果往往要结合物理情形进行进一步的讨论.

例2 如图2甲所示,在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场,电场强度E随时间的变化如图2乙(b)所示.不带电的绝缘小球P2静止在O点.t=0时,带正电的小球P1以速度v0从A点进入AB区域.随后与P2发生正碰后反弹,反弹速度是碰前的23倍.P1的质量为m1,带电量为q,P2的质量为m2=5m1,A、O间距为L0,O、B间距为L=4L03.已知qE0m1=2v203L0,T=L0v0.求:

(1) 求碰撞后小球P1向左运动的最大距离及所需时间.

(2) 讨论两球能否在OB区间内再次发生碰撞.

图2

思路点拨 本题有两个研究对象,且物体的受力情况和运动情况都较为复杂,故解题的关键是对物体的运动过程进行分段解剖,画出草图,弄清不同过程中两个物体的运动状态及它们的相互位置关系.

解析 (1) P1经t1时间,与P2碰撞,则t1=L0v0,

P1、P2碰撞设碰后P1速度为v1(v1=-23v0),P2速度为v2,由动量守恒有m1v0=m1v1+m2v2.

解得v2=13v0(方向水平向右).

碰撞后小球P1向左运动的最大距离sm=v212a1.

又a1=qE0m1=2v203L0,

解得sm=L03,

所需时间t2=v1a1=L0v0.

(2) 设P1、P2碰撞后又经Δt时间在OB区间内再次发生碰撞,且P1受电场力不变,由运动学公式,以水平向右为正.

由s1=s2,有-v1Δt+12a1Δt2=v2Δt,

解得Δt=3L0v0=3T(故P1受电场力不变).

对P2分析:s2=v2Δt=13v0•3L0v0=L0

所以假设成立,两球能在OB区间内再次发生碰撞.

解后反思 问题(2)中应用条件s1=s2时,正方向的选取尤其重要.在同一个物理问题中,即使研究对象有几个,通常建议只取一个相同的正方向,这样不容易出错.

二、 带电粒子在电场中的偏转问题

带电粒子在电场中的偏转问题又可分为恒定场和交变场两种,带电粒子在恒定电场中偏转的轨迹为抛物线,解题的基本思路就是分解;若偏转电场为交变电场,则可重点对侧向进行单独研究,讨论侧向上粒子的运动情况,而垂直于电场方向的运动(通常为匀速)对其一般没有影响.

例3 如图3所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图.在xOy平面上的ABCD区域内,存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ,两电场的边界均是边长为L的正方形(不计电子所受重力).

(1) 在该区域AB边的中点处由静止释放电子,求电子离开ABCD区域的位置.

(2) 在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子,电子恰能从ABCD区域左下角D处离开,求所有释放点的位置.

(3) 若将左侧电场Ⅱ整体水平向右移动Ln(n≥1),仍使电子从ABCD区域左下角D处离开(D不随电场移动),求在电场Ⅰ区域内由静止释放电子的所有位置.

图3

思路点拨 电子在电场Ⅰ中做匀加速直线运动而在电场Ⅱ中做类平抛运动,离开电场后做匀速直线运动,可画出运动过程的示意图来将不同过程的运动连接起来.

解析 (1)设电子的质量为m,电量为e,电子在电场Ⅰ中做匀加速直线运动,出区域Ⅰ时的速度为v0,此后电场Ⅱ做类平抛运动,假设电子从CD边射出,出射点纵坐标为y,有

eEL=12mv20,

L2-y=12at2=12eEmLv02.

解得y=14L,所以原假设成立,即电子离开ABCD区域的位置坐标为-2L,14L.

(2) 设释放点在电场区域Ⅰ中,其坐标为(x,y),在电场Ⅰ中电子被加速到v1,然后进入电场Ⅱ做类平抛运动,并从D点离开,有

eEx=12mv21,

y=12at2=12eEmLv12,

解得xy=L24,即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.

(3) 设电子从(x,y)点释放,在电场Ⅰ中加速到v2,进入电场Ⅱ后做类平抛运动,在高度为y′处离开电场Ⅱ时的情景与(2)中类似,然后电子做匀速直线运动,经过D点,则有

eEx=12mv22,y-y′=12at2=12eEmLv22,

vy=at=eELmv2,y′=vyLnv2,

解得xy=L212n+14,即在电场Ⅰ区域内满足方程的点即为所求位置.

解后反思 有部分答题者对题中求“释放点的位置”误解为一定要将x、y的值分别求出,从而陷入困境.实际上只要求出x、y间的关系式就可以了.

图4

例4 如图4所示,加速电压U0=5 000 V,偏转极板长L1=10 cm,宽d=4.0 cm;在L2=75 cm处有一直径D=20 cm的圆筒,筒外卷有记录纸,整个装置放在真空中.电子从阴极发射时的初速度不计,在金属板A、B上加交变电压u1=U1cos2πt(U1=1 000 V)时,圆筒又绕其中心轴匀速转动,转速n=2.0r/s,可得电子在记录纸上的轨迹,试将1.0 s内所记录的图形画出Yt图(记录纸在圆筒转动过程中被匀速抽出).

思路点拨 由于电子在电场中的飞行时间t=L1v0=L12eU0m=2.38×10-9 s,远小于交流电的周期T=1 s,故可近似认为每个电子在通过A、B两板的过程中板间电压不变,电子做抛物线运动.

解析 用正交分解法研究其运动规律可知,电子打在圆筒上的点到筒中心的距离满足

Y=y+L2tanθ=eu1L1mdv20L12+L2=eL1(L1+2L2)2mdv20U1cos2πt.

式中y为电子离开电场时的侧向位移,θ为偏转角,y=12eu1mdL1v02,tanθ=u1eL1mdv20,

可见,记录纸上的电子在y方向上随交变电压做简谐振动,其最大偏移为Ym=eL1(L1+2L2)U12mdv20=0.20 m.

图5

由圆筒转动的周期T′=0.5 s,则可画得1 s(u1的周期)内记录到的轨迹曲线(如图5所示),该Yt图的周期由u1的周期决定.

思考 若记录纸不被抽出,而是重复记录,图像又如何?

解后反思 解题中要敢于忽略次要矛盾,将每个电子运动的极短时间内的电场视为恒定电场;另外Y仅由u1的特性决定(即Y与时间t的函数关系必定与u1与t的函数关系相同)的规律要会灵活应用.

小结:

力学方法在静电场问题中的应用规律——

1. 所有问题都应先通过受力分析确定物体的状态.

2. 匀变速直线运动问题一般用力的方法处理,非匀变速直线运动通常可用动能定理来解,如是碰撞问题,则动量守恒定律常常有用武之地.

3. 对带电粒子在电场中的偏转问题的常规处理方法要熟悉(有关偏转角和侧移的公式最好能记住),对交变电场问题要善于抓主要矛盾.

4. 当带电体做一般的曲线运动时,通常可用动能定理来处理,而等效场的手段在电场中讨论某些问题(特别是圆)时可使问题大大简化.

5. 过程复杂的带电体的运动要注意不同运动形式之间的联系,画出运动过程的示意图通常是必要的.

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