基于径向约束的摄像机标定技术改进方法研究

【摘 要】本文针对基于径向约束两步法在摄像机标定时不能准确求解水平方向不确定因子和标定精度低的问题，在基于径向约束两步法的基础上，提出了改进方法，并对求解的摄像机参数进行了非线性优化。实验结果表明，该方法不仅可以准确求解水平方向不确定因子，还可以提高摄像机标定的精度。

【关键词】像机标定；径向约束；水平方向不确定比例因子；非线性优化

0 引言

在机器三维视觉系统中，空间物体的位置、形状和尺寸等信息都是从摄像机获取的图像信息中计算而得的[1]。为了得到空间点与摄像机图像像素点准确的相互对应关系，必须要对摄像机进行标定。摄像机标定就是计算得到摄像机内部的几何和光学特性即内部参数，以及摄像机坐标系和世界坐标系的相对关系即外部参数。建立合适的摄像机数学模型，得到二维图像坐标和三维世界坐标之间的关系，就可以计算出摄像机的内外参数，实现摄像机的标定。

目前，摄像机标定技术大致可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定两大类方法，其中基于径向约束（Radial Alignment Constraint，RAC）两步法[2]广泛应用与计算机视觉中。基于RAC两步法使用的大部分方程是线性的，从而可以降低参数求解的复杂性[3]，因此其标定过程快速，但是该方法不能准确求解水平方向不确定比例因子[4]，同时该方法只将部分参数优化，在存在测量的情况下，标定值与目标值会出现较大的偏差，从而降低了标定了精度。

本文在RAC两步法的基础上，进一步完善和发展了摄像机标定技术，运用本文提出的改进方法，可以准确求得水平方向不确定比例因子和提高标定精度。

1 基于RAC两步法的摄像机标定

Tsai提出了的基于RAC两步法的摄像机标定方法首先利用径向准线性约束求解模型的大部分参数，然后利用非线性搜索方法求解畸变系数、有效焦距等参数。

实际系统中由于透镜、成像平面与透镜光轴在空间位置上存在偏差，造成像点、光心和物点不能保证在同一条直线上，因此实际的摄像机成像模型不能满足理想的线性关系，而需要引入透镜非线性畸变，畸变形式主要包括径向畸变、偏心畸变和薄棱镜畸变[5]。一般情况下，仅考虑径向畸变已能满足非线性畸变要求，若讨论过多非线性畸变形式，不仅不能提高标定精度，反而会造成方程求解结果不稳定[6]。径向畸变时摄像机成像模型如图1所示。

图1 考虑径向畸变的摄像机模型

图1中，OcXcYcZc、OuXuYu和OwXwYwZw分别表示摄像机坐标系、图像像素坐标系和世界坐标系。按照理想的线性透视投影成像关系，目标点Pc（xc，yc，zc）在图像上成像点为Pu（xu，yu），但由于存在镜头素坐标系和世界坐标系。按照理想的线性透视投影成像关系，目标点Pc（xc，yc，zc）在图像上成像点为Pu（xu，yu），但由于存在镜头的径向畸变，其实际的像点为Pd（xd，yd），可以看出Pd（xd，yd）和Pc（xc，yc，zc）之间不满足透镜线性投影关系。

令旋转正交矩阵R3×3=■和平移矩阵T3×1=txtytz，则摄像机坐标系OcXcYcZc和世界坐标系OwXwYwZw关系的齐次形式为：

■（1）

像平面像素坐标系OuXuYu和摄像机坐标系OcXcYcZc关系的齐次形式为：

■（2）

式中，下标u表示未考虑径向畸变时的图像像素坐标，f表示摄像机焦距。

一般情况下，在Yu轴方向上图像坐标系与摄像机坐标系的物理距离是一致的，但在水平方向上却不一致，需要引入一个水平方向不确定因子进行修正[4]。因此在考虑径向畸变时，有：

■（3）

式中sx是水平方向不确定因子。

将式（2）和式（3）带入式（1），得：

■（4）

由于R3×3矩阵具有正交特性，即R3×3矩阵的各行（或列）是是单位向量且两两正交，那么若已知R3×3矩阵任意两列向量，则可求出求出第三个列向量。因此为了简化求解过程，让靶标平面与世界坐标系的OwXwYw面重合，即zw≡0。则式（4）可以简化为：

■（5）

则：

■（6）

式中：

■■

根据文献[4-5]，有：

■（7）

式中，■，k为径向畸变系数，（xdu，ydu）是图像像素坐标，■是径向畸变中心。

将式（7）带入式（6），得

■（8）

假设标定靶标上有N个待标定点，在OwXwYwZw中的坐标为（xwi，ywi，0），在像平面的对应坐标为（xdui，ydui），则根据式（8）可建立如下方程组

■（9）

式（9）所示方程组是一个超定非线性方程组，需采用最优化方法求解参数k，a1～a8。同时可以看出，若k已知，则式（9）变为关于a1～a8的线性方程组；反之，则式（9）变为关于k的线性方程组。因此：

a）给定k的初始值，在k和a1～a8两组参数之间迭代求解线性方程组，得到k和a1～a8的初值。

b）在得到k和a1～a8初值的前提下，联合式（8）、（9）建立牛顿—高斯法最优化求解模型，利用非线性搜索方法得出它们的精确解。

由于R3×3为正交矩阵，则

■

根据式（6），有

■

根据a1～a8的精确解可以求出sx、 f和tz（根据实际情况取sx>0、f>0）。再将它们带入式（6）就可以求出tx、ty和r1、r2、r4、r5、r7、r8。最后，根据R3×3为正交矩阵，则可求出r3、r6和r9。

2 摄像机参数的非线性优化

从上面的推导不难看出，基于RAC两步法只是将k，a1～a8等部分参数进行优化，在存在测量噪声的情况下，会造成标定值与目标值之间出现很大偏差，因此需要对摄像机标定参数进行优化得到最终的标定值，以提高摄像机的标定精度。

令目标函数为

■

式中，e=[f，k，sx，r1，…，r9，tx，ty，tz]，[Ui（e），Vi（e）]为已知目标世界坐标根据摄像机模型求得的像平面像素坐标，（ui，vi）为目标实际图像像素坐标。

非线性优化过程即对上式求极小化，也就是minF（e）=■[（Xui（e）-xui）2+（Yvi（e）-vi）2]由于Levenberg-Marquardt非线性优化算法的收敛速度快，且能避免局部收敛，因此，采用Levenberg-Marquardt算法对根据RAC两步法标定的全部参数值进行非线性优化。

3 实验结果

实验采用的摄像机镜头焦距f=6.0mm，平面标定板由6×9黑白棋盘格组成，标定板如图2所示，可见图像的边缘存在比较明显的畸变。标定板中相邻棋盘格中心的水平距离为2.8cm，垂直距离为2.8cm。以标定板的右上角为世界坐标系的原点，且标定板平面与Zw=0重合。

图2 标定板在摄像机中的图像

采用基于RAC两步法标定摄像机可以求得焦距f=7.012mm和畸变系数k=3.942×10-3；采用本文提出的改进方法可以求得焦距f=6.092mm和畸变系数k=2.447×10-3，同时还可求得水平方向不确定比例因子sx=1.072。

从实验结果可以看出，采用本文提出的改进方法标定的摄像机参数明显好于基于RAC两步法标定结果。本文提出的改进方法不仅可以精确求得水平方向不确定比例因子，而且求得的焦距与实验所用摄像机镜头焦距很接近。由此可见，本文方法的标定精度高并且能减少各种测量误差对摄像机标定的影响。

4 结论

本文在基于RAC两步法的基础上，对该算法进行了改进，进一步发展和完善了摄像机标定方法。实验结果表明，改进的算法能克服基于RAC两步法不能准确标定水平方向不确定比例因子的缺点，可以精确标定水平方向不确定比例因子，同时，在存在测量误差的情况下，改进的算法能减少各种误差多摄像机标定的影响，提高了摄像机标定的精度。

【参考文献】

[1]Rashmi Sundareswara， Paul R.Schater. Bayesian Modeling of Camera Calibration and Reconstruction[J]. IEEE， Proceedings of the Fifth International Conference on 3-D Digital Imaging and Modeling， 2005：394-401.

[2]Liu Q， Su H. Improvement in camera calibration based on RAC[J]. IEEE， Proceedings of 2007 International Symposium on Intelligent Signal Processing and Communication Systems， 2007：172-175.

[3]任延俊，霍霏，姜淑华，等.基于径向约束的CCD相机标定参数的整体优化[J].长春理工大学学报：自然科学版，2009，32（2）：213-216.

[4]赵小松，张宏伟，张国伟，等.摄像机标定技术的研究[J].机械工程学报，2002，38（3）：149-151.

[5]王长元，侯静.基于OpenCV改进的摄像机标定[J].计算机与数字工程，2014，42（1）：138-141.

[6]ROGER Y. TASI. A Versatile Camera Calibration Technique for High-Accuracy 3D Machine Vision Metrology Using Off-the-Shelf TV Cameras and Lenses[J]. IEEE JOURNAL OF FOBOTICS AND AUTOMATION， 1987，RA-3（4）：323-344.

[责任编辑：汤静]

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