悬臂梁非线性大变形分析

摘 要：工程中弹性大变形问题的余能中包含着与微元旋转有关的量，因此可将工程中的弹性大变形的余能分解为余能转动部分和变形部分组成，基于这一思路，本文以几何非线性余能原理概念为基础，通过算例分析验证了该原理可用于解决几何非线性大变形问题。

关键词：余能原理；非线性；大变形

中图分类号：TH13 文献标识码：A

1 概述

从基面力概念的概念出发，以Lagrange乘子法松弛单元域内的平衡条件，就可以得到诸如：材料的本构关系、结构的边界条件与平衡方程等弹性力学问题的基本方程表达式，同时还可以据此建立余能原理。同样，在研究结构的受力性能时，特别是在工程结构大变形的分析中，基面力具有传统的二阶应力张量无法比拟的优越性，为解决工程中的几何非线性大变形问题的计算分析提供了一个极佳的方法。因此，本文以几何非线性余能原理为基础，采用迭代法，对某一悬臂梁自由端顶部承受集中荷载作用而产生大变形的工程数值算例进行分析，分析所得结果并与相关有限元理论数值解进行对比，进而验证了该原理适用性。

2 数学模型建立

工程中弹性大变形问题的余能中包含着与微元旋转有关的量，因此可将工程中的弹性大变形的余能主要分解为余能转动部分和余能变形部分。基于这一思路，文中以几何非线性余能原理概念为基础，给出了几何非线性中的大位移、大转动的余能表达式的具体形式，并结合单元柔度矩阵，利用Lagrange乘子法最后给出余能有限元控制方程。

2.1由上述可知单元余能 由转动部分 和变形部分 两部分组成。

2.1.1单元余能的转动部分 表达式为：

2.1.2单元余能的变形部分 表达式为：

2.2柔度矩阵

单元柔度矩阵的显式表达式为

式（3）中，U为单位张量，E材料的弹性模量， ν为材料的泊松比。

2.3支配方程

利用Lagrange乘子法，放松平衡条件约束，则修正的泛函可写成

3 工程算例分析

悬臂梁自由端承受集中力作用的几何非线性大位移分析，某一悬臂梁的自由端部受集中力p作用（如图1所示），该悬臂梁的长度为L=5m，梁截面高为h=0.1m，b为梁的单位宽度，集中力为p=50N。计算时，按平面应力问题考虑，梁的弹性模量为E=3×106N/m2，在本算例中集中力荷载采用进行一次加载分析。

计算时，有限元单元采用四边形单元，有限元网格的剖分见图1所示，在本分析中该悬臂梁共有389个边中节点和180个四边形单元。下面将计算所得悬臂梁自由端的无量纲水平位移u/L值和无量纲竖向位移值v/L与无量纲荷载k=PL2/EI值的关系，以及与非线性理论解和非线性势能原理有限元解，文中简称为PFEM的比较关系列于表1，而相应于无量纲荷载k=PL2/EI值与u/L及v/L值的对应关系图如图2和图3所示。

由表1可知，当k=0.5时，u/L值的三个解都是0.016；当k=1时，u/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.002；当k=2时，u/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为-0.0045；当k=3时，u/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.009；当k=4时，u/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.002；当k=5时，u/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.003，由此可知在本算例分析中，u/L值中本文解与PFEM解和理论解的对应较好，最大差值仅为0.009。

同理，由表1可知，当k=0.5时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.002；当k=1时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.003；当k=2时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.010；当k=3时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.009；当k=4时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.002；当k=5时，v/L值中的本文解与PFEM解和理论解均值的差值为0.021，对应于u/L值中本文解与PFEM解和理论解的对应情况可知v/L值中本文解与PFEM解和理论解的对应差值在k=5时有较大的区别，其最大值为0.021，主要原因是本算例分析中梁自由端的大变形以竖向变形为主，相对数值较大，可考虑增加该方向结构的有限元单元划分数量，细化计算结果。

结语

（1）由本工程算例分析可知，对于工程中几何非线性大变形问题可应用本文中给出几何非线性余能原理有限元公式进行求解且与PFEM解和理论解吻合较好，对于解决工程实际问题具有一定的理论和实际应用意义。

（2）对以某一方向变形为主的几何非线性大变形问题，可适当考虑增加该方向的有限单元网格的划分数量，以提高该方向的变形位移值计算精度。

参考文献

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