专题32,,概率和统计【理】（教师版）

　题 专题 32

　概率和统计【理】

　点 考点 107

　随机抽样 1．（2017 江苏理）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取

　 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060 181000  件． 2．（2014 广东理）为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为（

　 ）

　A．50

　B．40

　C．25

　D．20 【答案】C【解析】由 1000 2540 ，可得分段的间隔为 25．故选 C． 3．（2014 湖南理）对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1 2 3, , p p p ，则（

　 ）

　A．1 2 3p p p  

　B．2 3 1p p p  

　C．1 3 2p p p  

　D．1 2 3p p p  

　【答案】D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是nN，故1 2 3p p p   ，故选 D． 4．（2013 新课标 I 理理）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（

　 ）

　A．简单随机抽样

　B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【答案】C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选 C． 5．（2014 湖北理）甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测．若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为

　件． 【答案】1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有 50 件，则乙设备生产的有 30件，在 4800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 5：3，所以乙设备生产的产品总数为 1800 件． 6．（2014 天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年

　级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604 5 5 6300?+ + +名． 7．（2012 江苏理）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 3 4 : : ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取

　名学生． 【答案】15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的103，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取 50×103=15 名学生． 8．（2012 浙江理）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本，则此样本中男生人数为____________． 【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为 ，样本中男生人数为 ． 点 考点 108

　用样本估计总体 9．（2020 全国Ⅲ文 3）设一组样本数据1 2, , ,nx x x 的方差为 0.01 ，则数据1 210 ,10 , ,10nx x x 的方差为 （

　 ）

　A． 0.01

　 B． 0.1

　C． 1

　 D． 10

　【答案】C 【解析】因为数据 ( 1,2, , )iax b i n   L ，的方差是数据 ( 1,2, , )ix i n  L ， 的方差的2a 倍， 所以所求数据方差为210 0.01=1 ，故选：C． 10．（2020 全国Ⅲ理 3）在一组样本数据中， 1, 2,3, 4 出现的频率分别为1 2 3 4, , , p p p p ，且 411iip ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （

　 ）

　A．1 4 2 30.1, 0.4 p p p p    

　B．1 4 2 30.4, 0.1 p p p p    

　C．1 4 2 30.2, 0.3 p p p p    

　 D．1 4 2 30.3, 0.2 p p p p    

　【答案】B 【解析】对于 A 选项，该组数据的平均数为     1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax        ，方差为       2 2 2 221 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As              ；对于 B 选项，该组数据的平均数为     1 4 0.4 2 3 0.1 2.5Bx        ，方差为4:34280 1607 

　       2 2 2 221 2.5 0.4 2 2.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85Bs              ；对于 C 选项，该组数据的平均数为     1 4 0.2 2 3 0.3 2.5Cx        ，方差为       2 2 2 221 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05Cs              ；对于 D 选项，该组数据的平均数为     1 4 0.3 2 3 0.2 2.5Dx        ，方差为       2 2 2 221 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5 0.2 4 2.5 0.3 1.45Ds              ，因此 B 选项这一组的标准差最大，故选 B． 11．（2020 天津 4）从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：

　mm ），将所得数据分为 9 组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47) 内的个数为（

　）

　 A．10 B．18 C．20 D．36 【答案】B【解析】由题意可得，直径落在区间   5.43,5.47 之间的零件频率为：

　  6.25 5.00 0.02 0.225    ， 则区间   5.43,5.47 内零件的个数为：

　80 0.225 18   ，故选 B． 12．（2019 全国 II 理 5）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分．7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数

　C．方差

　 D．极差 【答案】A【解析】根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个

　有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选 A． 13．（2019 全国 II 理 13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0．97，有 20 个车次的正点率为 0．98，有 10 个车次的正点率为 0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________． 【答案】0．98【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

　． 14．（2020 上海 8）已知有四个数 1,2, , a b ，这四个数的中位数为 3，平均数为 4，则 ab

　 ． 【答案】36【解析】设 a b  ，则232a  ，解得：

　4 a  ， 1 2 44a b    ，解得：

　9 b ，所以 36 ab ． 故答案为：36。

　15．（2020 江苏 3）已知一组数据 4, 2 ,3 2 ,5,6 a a  的平均数为 4 ，则 a 的值是

　 ． 【答案】

　2 【解析】由题意得  4 2 3 5 645a a      ，解得 2 a  ． 16．（2019 江苏 5）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是

　 ． 【答案】53【解析】

　一组数据 6，7，8，8，9，10 的平均数为 ， 所以该组数据的方差为 ． 17．（2020 新高考山东海南 9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 （

　 ）

　A．这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C．第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80% 10 0.97 20 0.98 10 0.990.9810 20 10x      1(6 7 8 8 9 10) 86x       2 2 2 2 2 2 21 5[(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3s             

　D．第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量 【答案】CD【解析】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B错误；由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确；由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确． 18．（2018 全国Ⅰ理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

　 建设前经济收入构成比例

　建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【解析】通解 设建设前经济收入为 a ，则建设后经济收入为 2a ，则由饼图可得建设前种植收入为 0.6a ，其他收入为 0.04a ，养殖收入为 0.3a ．建设后种植收入为 0.74a ，其他收入为 0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为 1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选 A． 优解

　因为 0.6 0.37 2   ，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以 A 是错误的．故选 A． 19．（2017 新课标Ⅲ理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

　 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月份 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图，7 月份后月接待游客量减少，A 错误，故选 A． 20．（2016 年山东理）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 [17.5,20) ， [20,22.5) ， [22.5,25) ， [25,27.5) ，[27.5,30] ．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22．5 小时的人数是 A．56

　 B．60

　 C．120

　D．140

　【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，这 200 名学生每周的自习时间不少于 22．5 小时的频率为(0．16+0．08+0．04)×2．5=0．7，故这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22．5 小时的人数为 200×0．7=140．故选 D． 21．(2016 年全国 III 理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃．下面叙述不正确的是 [17.5,30]

　 A．各月的平均最低气温都在 0℃以上

　B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

　D．平均气温高于 20℃的月份有 5 个 【答案】D【解析】由图可知 0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在 0℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为 10℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于 20℃的月份不是 5 个，D 不正确，故选 D． 22．（2015 陕西理）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为

　A．167

　 B．137

　C．123

　D．93 【答案】C【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为 110 70 150 (1 60%) 137      ． 23．（2015 新课标 I 理理 I 理）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是．

　A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著

　B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】根据柱形图易得选项 A，B，C 正确，2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关，选项 D 错误． 24．（2015 安徽理）若样本数据1x ，2x ，  ，10x 的标准差为 8 ，则数据12 1 x  ，22 1 x  ，  ，102 1 x  的标准差为 A． 8

　 B． 15

　C． 16

　D． 【答案】C【解析】设样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，则 ，即方差 ，而数据 ， ， ， 的方差 ，所以其标准差为 ，故选 C． 25．（2014 广东理）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是

　A．200，20

　B．100，20

　 C．200，10

　D．100，10 【答案】A【解析】所抽人数为 (3500 2000 4500) 2% 200     ，近视人数分别为小学生 3500 10% 350   ，初中生 4500 30% 1350   ，高中生 2000 50% 1000   ，∴抽取的高中生近视人数为 1000 2% 20   ，故选 A． 26．（2013 福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6 组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（

　 ）

　A．588

　B．480

　 C．450

　D．120 1x2x 10x DX 8 DX  64 DX 12 1 x 22 1 x  102 1 x 2 2(2 1) 2 2 64 D X DX    22 64 16  

　 【答案】B【解析】由图知道 60 分以上人员的频率为后 4 项频率的和，由图知道，故分数在 60 以上的人数为 600×0．8=480 人． 27．（2013 山东理）将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示：

　则 7 个剩余分数的方差为（

　 ）

　A．

　B．

　C．36

　 D．

　【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是 87，99，所以 87 90 2 91 2 94      90 91 7 x     ， 4 x  ． 2 2 2 2 21 36[(87 91) (90 91) 2 (91 91) 2 (94 91) 2]7 7s             ． 28．（2012 陕西理）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（

　 ）

　A．46，45，56

　B．46，45，53

　C．47，45，56

　 D．45，47，53 【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 众数是 45，极差为 68-12=56，故选 A． 29．(2018 江苏理)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为

　 ． (0.03 0.025 0.015 0.01)*10 0.8 P     x9

　 4

　 0

　 1

　 0

　 x

　 9

　 18

　 7

　 711693676 776

　 1

　 7

　 85

　 0

　 0

　 1

　 1

　 4

　 7

　 94

　 5

　 5

　 5

　 7

　 7

　 8

　 8

　 93

　 1

　 2

　 4

　 4

　 8

　 92

　 0

　 2

　 3

　 31

　 2

　 545+47=462，

　 【答案】90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为89 89 90 91 91905    ． 29．（2015 湖南理）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．

　若将运动员按成绩由好到差编为 1 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是

　． 【答案】4 【解析】由茎叶图可知，在区间 的人数为 ，再由系统抽样的性质可知人数为人． 30．（2014 江苏理）为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有

　株树木的底部周长小于 100cm．

　【答案】24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于 100cm 的频率是(0．025 +0．015)×10=0．4，又样本容量是 60，所以频数是 0．4×60=24． 31．（2013 辽宁理）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为

　． 【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为 ．由平均数方差的公式得， ，显然各个括号为整数．设1 1 09 998] 151 , 139 [ 20 435720  a b c d e    75a b c d e    2 2 2 2 2( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7)45a b c d e         

　分别为 ， ， 则 ． 设 = = ， 因为数据互不相同，分析 的构成，得 恒成立， 因此判别式 ，得 ，所以 ，即 ． 32．（2012 山东理）右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为 ， ， ， ，， ．已知样本中平均气温低于 22．5℃的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．

　【答案】9【解析】最左边两个矩形面积之和为 0．10×1+0．12×1＝0．22，总城市数为 11÷0．22＝50，最右面矩形面积为 0．18×1＝0．18，50×0．18＝9． 33．（2019 全国 III 理 17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

　7, 7, 7, 7, 7 a b c d e      , , , , p q r s t ( , , , , ) p q r s t Z 2 2 2 2 20 (1)20 (2)p q r s tp q r s t         2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x p x q x r x s        2 2 2 2 24 2( ) ( ) x p q r s x p q r s        2 24 2 20 x tx t   ( ) f x ( ) 0 f x 0  4 t  3 t  10 e [20.5,21.5) [21.5,22.5) [22.5,23.5) [23.5,24.5)[24.5,25.5) [25.5,26.5]

　记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5．5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0．70． （1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【解析】（1）由已知得 ，故 ，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00． 34．（2016 年四川理）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

　（I）求直方图中 a 的值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说明理由． 【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1． ∵频率=(频率/组距)*组距，∴  0.5 0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2 1 a         ，得 0.3 a ． （II）由图，不低于3吨人数所占百分比为  0.5 0.12 0.08 0.04 =12%   ， ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：

　30 12%=3.6  (万)． （Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．5吨的居民人数所占百分比为：

　  0.5 0.08 0.16 0.3 0.4 0.52 0.73       ，即 73% 的居民月均用水量小于2．5吨， 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故 2.5 3 x   ， 假设月均用水量平均分布，则  85% 73% 0.52.5 0.5 2.90.3x     （吨）． 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差． 0.70 0.20 0.15 a    0.35 a 

　35．（2015 广东理）某工厂 36 名工人年龄数据如下表 工人编号

　年龄 工人编号

　年龄 工人编号

　年龄 工人编号

　年龄 1

　40 2

　44 3

　40 4

　41 5

　33 6

　40 7

　45 8

　42 9

　43 10

　 36 11

　 31 12

　 38 13

　 39 14

　 43 15

　 45 16

　 39 17

　 38 18

　 36 19

　 27 20

　 43 21

　 41 22

　 37 23

　 34 24

　 42 25

　 37 26

　 44 27

　 42 28

　 34 29

　 39 30

　 43 31

　 38 32

　 42 33

　 53 34

　 37 45

　 49 36

　 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算(1)中样本的均值 x 和方差2s ； （3）36 名工人中年龄在 x s  和 x s  之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01% ）？ 【解析】（1）由系统抽样可知，36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为 2，故所有样本数据的编号为 4 2 n ， 1,2, ,9 n   ．其数据为：44，40，36，37，44，43，37． （2）44 40 37409x   ． 由方差公式，2 2 2 21 100[(44 40) (40 40) (37 40) ]9 9s        ． （3）因为21009s  ，所以10(3,4)3s   ． 所以 36 名工人中年龄在 x s  和 x s  之间的人数等于在区间 [37,43] 内的人数，即 40，40，41，  ，39，共 23 人． 所以 36 名工人中年龄在 x s  和 x s  之间的人数所占的百分比为2363.89%36 ． 36．（2013 年新课标 I 理）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 药， 药）的疗效，随机地选取位患者服用 药， 位患者服用 药，这 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：

　），试验的观测结果如下：

　服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间：

　A B 20A 20 B 40hA 20

　0．6

　 1．2

　 2．7

　 1．5

　2．8

　 1．8

　 2．2

　 2．3

　3．2

　 3．5 2．5

　 2．6

　 1．2

　 2．7

　1．5

　 2．9

　 3．0

　 3．1

　2．3

　 2．4 服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间：

　3．2

　1．7

　 1．9

　 0．8

　 0．9

　2．4

　 1．2

　 2．6

　 1．3

　 1．4 1．6

　0．5

　 1．8

　 0．6

　 2．1

　1．1

　 2．5

　 1．2

　 2．7

　 0．5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

　【解析】（1）设 A 药观测数据的平均数为 ，B 药观测数据的平均数为 ，又观测结果可得 （0．6+1．2+1．2+1．5+1．5+1．8+2．2+2．3+2．3+2．4+2．5+2．6+2．7+2．7+2．8+3．0+3．1+3．2+3．5）=2．3，

　由以上计算结果可得 > ，因此可看出 A 药的疗效更好． （2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

　A 药

　B 药 6 0． 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1． 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2

　2． 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3． 2

　从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2．3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 0，1 上，由此可看出 A 药的疗效更好． 37．（2012 广东理）某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间B 20x y120x 1(0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2201.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.12.4 2.5 2.6 2.7 3.2) 1.6y                   x y710

　是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

　（1）求图中 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ ）与数学成绩相应分数段的人数（ ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段   60 , 50

　  70 , 60

　  80 , 70

　  90 , 80

　x ：y 1：1 2：1 3：4 4：5 【解析】（1）

　（2）平均分为

　（3）数学成绩在 内的人数为 人． 数学成绩在 外的人数为 人． 答：（1）

　（2）这 100 名学生语文成绩的平均分为

　（3）数学成绩在 外的人数为 人． 点 考点 109

　变量间的相关关系 38．（2020 全国Ⅰ文理 5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：

　C  ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据    , 1, 2, , 20i ix y i 得到下面的散点图：

　ax y(2 0.02 0.03 0.04) 10 1 0.005 a a       55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73          [50,90)1 4 5(0.005 0.04 0.03 0.02) 10 100 902 3 4        [50,90) 100 90 10  0.005 a 73[50,90) 10

　 由此散点图，在 10 C  至 40 C  之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 （

　 ）

　A． y a bx  

　 B．2y a bx  

　 C． e x y a b  

　 D． ln y a b x  

　 【答案】D 【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是 ln y a b x   ，故选 D． 39．（2017 山东理）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆ ˆ y bx a   ．已知101225iix，1011600iiy，ˆ4 b  ．该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 A． 160

　 B． 163

　C． 166

　D． 170

　【答案】C【解析】因为 22.5 x  ， 160 y  ，所以 160 4 22.5 70 a     ， 4 24 70 166 y     ，故选C． 40．（2015 福建理）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：

　收入 x （万元）

　8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 支出 y （万元）

　6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 根据上表可得回归本线方程ˆˆ ˆ y bx a  

　，其中 ˆˆˆ 0.76, b a y bx   

　，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 A．11．4 万元

　B．11．8 万元

　C．12．0 万元

　 D．12．2 万元 【答案】B【解析】∵ 10.0 x  ， 8.0 y  ，ˆ0.76 b  ，∴ ˆ 8 0.76 10 0.4 a     ，

　∴回归方程为 ˆ 0.76 0.4 y x = + ，把 15 x = 代入上式得， ˆ 0.76 15 0.4 11.8 y = ? = (万元)，故选 B． 41．（2014 重庆理）已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 3 x  ， ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为 A． 0.4 2.3 y x  

　B． 2 2.4 y x  

　C． 2 9.5 y x  

　 D． 0.3 4.4 y x  

　【答案】A【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D．且直线必过点 (3,3.5) ，代入A、B 得 A 正确． 42．（2014 湖北理）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4．0 2．5 0.5  0．5 2.0  3.0 

　得到的回归方程为ˆ ybx a   ，则 A． 0 a ， 0 b

　 B． 0 a ， 0 b

　C． 0 a ， 0 b

　D． 0 a ， 0 b

　 【答案】A【解析】画出散点图知 0, 0 b a   ，故选 A． 43．（2012 新课标理）在一组样本数据（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1 ，x 2 ，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i=1，2，…，n)都在直线112y x   上，则这组样本数据的样本相关系数为

　A．−1

　B．0

　C． 12

　 D．1 【答案】D【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故故选 D． 44．（2014 江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 x y 3.5 y 

　 【答案】D【解析】因为2 22152 (6 22 14 10) 52 816 36 32 20 16 36 32 20          ， 2 22252 (4 20 16 12) 52 11216 36 32 20 16 36 32 20          ，2 22352 (8 24 12 8) 52 9616 36 32 20 16 36 32 20          ，2 22452 (14 30 6 2) 52 40816 36 32 20 16 36 32 20          ， 则有2 2 2 24 2 3 1       ，所以阅读量与性别关联的可能性最大，故选 D． 45．（2012 湖南理）设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0．85x  85．71，则下列结论中不正确．．．的是 A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（ ， ）

　C．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0．85kg D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58．79kg 【答案】D【解析】由回归方程为 =0．85x  85．71 知 随 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 yx yy y x

　， 所以回归直线过样本点的中心（ ， ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确． 46．（2011 山东理）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x（万元）

　4 2 3 5 销售额 y（万元）

　49 26 39 54 根据上表可得回归方程 中的 为 9．4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

　A．63．6 万元

　B．65．5 万元

　C．67．7 万元

　D．72．0 万元 【答案】B【解析】样本中心点是（3．5，42），则ˆˆ 42 9.4 3.5 9.1 a y bx       ，所以回归方程是ˆ 9.4 9.1 y x   ，把 6 x  代入得 ˆ 65.5 y  ． 47．（2018 全国Ⅱ理）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．

　为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1 2 17 ，，…， ）建立模型①：

　ˆ 30.4 13.5    y t ；根据 2010 年至2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1 2 7 ，，…， ）建立模型②：

　ˆ 99 17.5   y t ． (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】(1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ 30.4 13.5 19 226.1 y      (亿元)． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ 99 17.5 9 256.5 y     (亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

　ˆ ( ) y bx a bx y bx a y bx       x yˆˆ ˆ y bx a  ˆb

　（ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30.4 13.5 y t    上下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 ˆ 99 17.5 y t   可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226．1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 48．(2016 新课标Ⅰ理 II)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

　（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0．01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32iiy，7140.17i iit y，721( ) 0.55iiy y ， 7 ≈2．646． 参考公式：相关系数12 21 1( )( )( ) (y y)ni iin ni ii it t y yrt t    ，

　回归方程 y a bt   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121( )( )( )ni iiniit t y ybt t ， = . a y bt 

　【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

　4  t ， 28 ) (712  iit t ， 55 . 0 ) (712  iiy y ， 7 7 71 1 1( )( ) 40.17 4 9.32 2.89i i i i ii i it t y y t y t y           ， 99 . 0646 . 2 2 55 . 089 . 2  r ． 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0．99，说明 y 与 t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系． （Ⅱ）由 331 . 1732 . 9  y 及（Ⅰ）得71721( )( )2.89ˆ0.10328( )i iiiit t y ybt t   ， 92 . 0 4 103 . 0 331 . 1ˆˆ       t b y a ． 所以， y 关于 t 的回归方程为：

　t y 10 . 0 92 . 0 ˆ   ． 将 2016 年对应的 9  t 代入回归方程得：

　82 . 1 9 10 . 0 92 . 0 ˆ     y ． 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1．82 亿吨． 49．（2015 新课标 I 理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位：t）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix 和年销售量iy （ i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

　x

　y

　w

　821( )iix x 821( )iiw w 81( )( )i iix x y y  81( )( )i iiw w y y  46．6 563 6．8 289．8 1．6 1469 108．8 表中i iw x  ， w

　=1881iiw． （Ⅰ）根据散点图判断， y a bx   与 y c d x   哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程

　类型？（给出判断即可，不必说明理由）

　（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 0.2 z y x   ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

　（ⅰ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据1 1( , ) u v ，2 2( , ) u v ，  ， ( , )n nu v ，其回归线 v u     的斜率和截距的最小二乘估计分别为121( )( )ˆ( )ni iiniiu u v vu u ，ˆˆ v u     ． 【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断， y c d x   适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型． （Ⅱ）令 w x  ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于81821( )( )108.8ˆ681.6( )i iiiiw w y ydw w   ． ˆˆ 563 68 6.8 100.6 c y dw       ， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ˆ 100.6 68 y w   ，因此 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68 y x   ． （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 49 x 时，年销售量 y 的预报值 ˆ 100.6 68 49 576.6 y    ， 年利润 z 的预报值 ˆ 576.6 0.2 49 66.32 z     ． （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润 z 的预报值 ˆ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12 z x x x x        ，所以当13.66.82x   ，即 46.24 x 时，ˆ z取得最大值，故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大． 50．（2014 新课标 II 理）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：

　年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2．9 3．3 3．6 4．4 4．8 5．2 5．9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入．

　附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：   121ni iiniit t y ybt t ，ˆây bt  

　【解析】（I）

　由所给数据计算得17t  （1+2+3+4+5+6+7）=4，17y  （2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9）=4．3 7211( )tt t=9+4+1+0+1+4+9=28， 71 11( )( )tt t y y = ( 3) ( 1.4) ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7)            0 0.1 1 0.5 2 0.9 3 1.6 14          ， 71 117211( )( )140.528( )ttt t y ybt t   ， 4.3 0.5 4 2.3 a y bt       ，所求回归方程为 0.5 2.3 y t   ． 51．（2020 全国Ⅱ文理 18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据    , 1,2, ,20i ix y i  ，其中ix 和iy 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 20160iix ， 2011200iiy ，   201280iix x ，  20129000iiy y ，    0 80201  ii iy y x x ． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本    , 1,2, ,20i ix y i  的相关系数（精确到 0.01 ）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

　附：相关系数         niiniinii iy y x xy y x xr12121， 414 . 1 2  ．

　【解析】（1）样区野生动物平均数为2011 11200 6020 20iiy  ， 地块数为 200 ，该地区这种野生动物的估计值为 200 60 12000   ． （2）样本 ( , )i ix y 的相关系数为20120 202 21 1( )( )800 2 20.943 80 9000( ) ( )i iii ii ix x y yrx x y y       ． （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样．先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可． 点 考点 110

　随机事件的概率、古典概型、几何概型 52．（2020 全国Ⅰ文 4）设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 , , , , O A B C D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为 （

　 ）

　A．15

　B．25

　C．12

　D．45

　【答案】A 【解析】如图，从 , , , , O A B C D 5 个点中任取 3 个有       , , , , , , , , O A B O A C O A D ，              , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , O B C O B D O C D A B C A B D A C D B C D ，共 10 种不同取法， 3 点共线只有   , , O A C 与   , , O B D 共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2 110 5 ，故选 A．

　53．（2020 全国Ⅱ文理 4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志

　愿者

　（

　 ）

　A． 10 名 B． 18 名 C． 24 名 D． 32 名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为 500 1600 1200 900    ，故需要志愿者9001850 名，故选 B． 54．（2020 新高考山东海南 5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳， 60%的学生喜欢足球， 82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （

　 ）

　A． 62%

　B． 56%

　 C． 46%

　D． 42%

　【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 A B  ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A B  ，则 ( ) 0.6 P A  ， ( ) 0.82 P B  ，  0.96 P A B   ，所以( ) P A B   ( ) ( ) ( ) P A P B P A B    0.6 0.82 0.96 0.46     ，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% ，故选：C．

　55．（2019 全国 I 理 6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（

　 ）

　A．516 B．1132

　C．2132

　D．1116

　【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数 ，该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 ，故选 A． 56．（2018 全国Ⅰ理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ． ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，62 64 n  3 36 3C C 20 m  20 564 16mpn  

　黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则

　A．1 2 p p

　B．1 3 p p

　 C．2 3 p p

　 D．1 2 3  p p p

　【答案】A【解析】通解

　设直角三角形 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则区域 I 的面积即 ABC 的面积，为112 S bc ，区域Ⅱ的面积221( )2 2   cS

　22 2 2 2( )1 1 1 1 12( ) [ ] ( )2 2 2 2 8 2 2        abbc c b a bc bc ，所以1 2 S S ，由几何概型的知识知1 2 p p ，故选 A． 优解

　不妨设 ABC 为等腰直角三角形， 2   AB AC ，则 2 2  BC ，所以区域 I 的面积即 ABC 的面积，为112 2 22    S ，区域Ⅱ的面积 222( 2)1 [ 2] 22     S ，区域Ⅲ的面积23( 2)2 22    S ． 根据几何概型的概率计算公式，得1 222p p ，322p ，所以1 3 p p ， 2 3 p p ，1 2 3  p p p ，故选 A． 57．（2018 全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23   ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A．112

　B．114

　C．115

　 D．118 【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率2103 1C 15  P ，故选 C．

　58．（2017 新课标Ⅰ理）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

　A．14

　B．8

　 C．12

　D．4 【答案】B【解析】设正方形的边长为 2a ，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为22124 8aa ．故选 B． 59．（2017 山东理）从分别标有 1 ， 2 ，  ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A．518

　B．49

　 C．59

　D．79 【答案】C【解析】不放回的抽取 2 次有1 19 8C C 9 8 72    ，如图

　可知 (1,2) 与 (2,1) 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有1 15 42C C =40，所求概率为40 572 8 ． 60．（2016 新课标Ⅰ理）某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 A．13

　B．12

　C．23

　D．34 【答案】B【解析】由题意得图：

　21，3，4，5，6，7，8，9 2，3，4，5，6，7，8，918:30 8:20 8:10 8:00 7:50

　由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12． 61．（2016 新课标Ⅰ理）从区间  0 , 1 随机抽取 2n 个数1x ，2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成 n 个数对  1 1, x y，  2 2, x y，…，  ,n nx y，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率  的近似值为 A．4nm

　 B．2nm

　 C．4mn

　D．2mn 【答案】C【解析】由题意得：

　   1 2i ix y i n   ， ， ， ， 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41mn ，∴4πmn ，故选 C．

　62．（2015 广东理）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为 A．521

　B．1021

　 C．1121

　D． 1

　【答案】B 【解析】

　基本事件总数为215C ，恰有 1 个白球与 1 个红球的基本事件为1 110 5C C ，所求概率为1 110 52151021C CC= ． 63．（2014 新课标 I 理）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ．18

　B ．38

　 C ．58

　 D ．78 【答案】D【解析】442 2 72 8P  ． 64．（2014 江西理）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于（

　 ）

　A．118

　 B．19

　 C．16

　D．112

　【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有 6 6 36   种，点数之和为 5 的有 4 中，所以所求概率为4 136 9 ． 65．（2014 湖南理）在区间 [ 2,3]  上随机选取一个数 X ，则 1 X  的概率为（

　）

　A．45

　 B．35

　 C．25

　D．15 【答案】B【解析】区间长度为 3 ( 2) 5    ， [ 2,1]  的长度为 1 ( 2) 3    ，故满足条件的概率为23P  ． 66．（2014 辽宁理）若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 2 AB ， 1 BC  ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（

　）

　A．2

　 B．4

　 C．6

　 D．8 【答案】B【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率12=2 4SPS 阴影长方形． 67．（2014 陕西理）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个...

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