第二章汽车试验基础理论-第二章汽车试验基础理论

　 第二章

　汽车试验基础理论

　 试验是一个较为广义的概念，对汽车部件功能、生产工艺的验证，零件形体、成分的检测，汽车整车及零部件性能的测试等统称为汽车试验。汽车试验所涉及的范围十分广泛，渗透到汽车产品的研发、样机试制、成品制造的各个环节。试验目的、要求、对象的不同，试验系统的复杂与难易程度存在很大的差异，对于汽车零件形体外形尺寸与质量大小的测量， 那只是简单的技艺问题，在此不作讨论。本课程所要解决的是一些较为复杂的汽车整车及零部件的性能参数测试问题。往往需要由传感器、信号调理、信号记录、数据采集、数据处理与显示等设备所组成的复杂系统才能完成，如图 2-1 所示。

　传感器 信号调理设备 记录仪 数据采集设备 数据处理与显示设备被测量校准设备 图 2-1

　汽车试验系统的组成

　 在此需指出的是：并非是所有的汽车试验系统都必须包括图 2-1 所示的全部设备。对于汽车试验而言，由于被测量及所用传感器的不同，其试验系统的组成会存在很大的差异。无论是有多少个设备及什么类型的设备所组成的汽车试验系统，其要求只有一个，那就是测试结果应与被测量保持一致。欲作到这一点，就必须深入了解试验系统的特性。

　第一节

　汽车试验系统的特性

　 前述的试验系统可以将其简化为图 2-2 所示的数学模型。被测量称为系统的输入（或激励），用 ) (t x 表示；测试结果称为系统的输出（或响应），用 ) (t y 表示。所谓试验系统的特性是指系统的输出 ) (t y 与输入 ) (t x 的关系。

　测试系统( ) x t ( ) y t

　图 2-2

　试验系统的教学模型

　 汽车试验与其它工程测试一样，其输入 ) (t x 具有两种不同的特征，即 ) (t x 随时间的变化而变化或不随时间的变化。若被测量 ) (t x 不随时间的变化或随时间缓慢变化时，系统的输出 ) (t y 与输入 ) (t x 之间的关系，称为试验系统的 静 态 特性；若被测量 ) (t x 随时间的变化而变化，则系统的输出 ) (t y 与输入 ) (t x 之间的关系，称为试验系统的 动态特性。

　 一、试验系统的静态特性

　 下式是任一静态系统的数学表达式。

　20 1 2( ) ( ) ( ) ( )nny t a a x t a x t a x t     

　（2-1）

　式中：

　) (t y ——系统的输出（测试结果）；

　 ) (t x ——系统的输入（被测量）；

　na a a a , , , ,2 1 0 ——与系统相关的常数。

　若 00 a ，则表示，即使没有输入却仍有输出，即当 ( ) 0 x t  时，0( ) y t a ，0a称为试验系统的零点漂移。显然不希望试验系统存在零点漂移。

　另外，对于任何一个试验系统，若除10 a  外，其它常数0 2, , ,na a a 均为零，则试验系统的输出与输入的关系最为简单，是人们追求的目标。所以常将

　 1( ) ( ) y t a x t 

　（2-2）

　 称为理想系统，是一种没有零点漂移的线性系统。

　评价试验系统静态特性的指标有：灵敏度、分辨率、重复性、漂移、回程误差和线性度等。

　 1、 、 灵敏度

　 输入量的变化 ( ) x t  所引起输出量变化 ( ) y t  的大小，称为灵敏度，用 E 表示，即：

　 ( )( )y tEx t

　（2-3）

　 对于非线性系统，灵敏度就是静态特性曲线上各点的斜率。当试验系统输出与输入的量纲相同时，显然灵敏度 E 反映的是输出量与输入量的倍数关系，故将其称为放大倍数。

　 2、 、 分辨率

　 分辨率是指试验系统能测量到最小输入量变化的大小，即能引起输出量发生变化的最小输入变化量，用 x  表示。由于试验系统在全量程范围内，各测量区间的 x  不一定总是相等，因此常用全量程范围内最大的 x  即maxx  来表示。

　 3、 、 重复性

　 重复性是指用同一试验系统在相同的试验条件下对同一被测量进行多次测量，其各次测试结果的接近程度。重复性的好坏，在很大程度上反映了测量结果中随机误差的大小。换言之，随机误差大，则测试结果的重复性就差。

　 4、 、 回程误差

　 回程误差又称迟滞性。在测试过程中，经常会出现正向输入（输入由小到大）所得到的输出规律与反向输入（输入由大到小）系统的输出规律不一致（图 2-3），二者之间的差值称为回程误差。

　图 2-3

　回程误差

　 5、 、 线性度

　 线性度是指定度曲线偏离理想直线的程度。常用定度曲线与理想直线的最大偏差与测试系统量程之比来表示，即：

　 max100%LFSLy 

　 （2-4）

　式中：L ——线性度；

　 maxL  ——定度曲线与理想直线的最大偏差；

　 FSy ——测试系统的量程。

　 6、 、 漂移

　 漂移有两类，即零点漂移和灵敏度漂移。无论是哪种漂移，常都是由温度的变化及元器件性能的不稳定所引起。图 2-4 是零点漂移和灵敏度漂移的示意图。对于一般的测试系统，灵敏度越高，则测量范围越小，稳定性亦相对较差，即漂移亦相对较明显。

　y ) (t x) (t y

　 ( ) y t( ) x t灵敏度漂移理想直线零点漂移 图 2-4

　漂移

　 二、系统的动态特性

　 在输入变化时，人们所测得的输出量不仅受到研究对象（如汽车）动态特性的影响，而且还受到试验系统动态特性的影响。如进行汽车行驶平顺性试验，在测试条件完全相同的情况下，用同一仪器系统，对汽车不同位置的测试，其结果均不相同；用不同的仪器对汽车同一部位的测试，其结果也不可能完全相同。

　 前面述及，为了获得准确的测试结果，希望所组成的仪器系统是线性的，其原因是：①只有线性系统才便于用数学方法对其进行分析处理；②在动态测试中，非线性校正比较困难。

　若试验系统是一线性系统，则该系统可用如下常系数微分方程进行描述。

　 11 1 0111 1 01( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )n nn nn nm mm mm md y t d y t dy ta a a a y tdt dt dtd x t d x t dx tb b b b x tdt dt dt      

　 （2-5）

　式中：

　) (t x ——系统的输入；

　 ) (t y ——系统的输出；

　 0 1 1, , , , a a a an n和0 1 1, , , , b b b bm m——与系统结构参数有关的常数。

　 1 、动态 系统的性质

　 1）叠加性

　 n 个输入同时作用于系统时的输出，等于这些输入单独作用于系统时系统各输出的和，即：若

　 1 12 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )n nx t y tx t y tx t y t 则

　1 2 1 2[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )n nx t x t x t y t y t y t       

　 2）比例性

　 由叠加性知，若 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1t x t x t x t x t xk      ， 且：

　( ) ( ) x t y t 

　则：

　( ) ( ) kx t ky t  即：系统的输入增加 k 倍，则输出也增大 k 倍，

　 3）微分性

　 系统输入微分的输出，等于原输入所引起输出的微分，即：

　若：

　( ) ( ) x t y t  则：

　( ) ( ) dx t dy tdt dt

　 4）积分性

　 若系统的初始状态为零，则系统输入积分的输出，等于原输入所引起输出的积分，即：

　若：

　( ) ( ) x t y t  则：

　0 0( ) ( )t tx t dt y t dt  

　 5）频率保持性

　 若系统的输入为某一频率的简谐函数0( )j tx t x e ，则系统的稳态输出亦是与之频率相同的简谐函数，只是幅值和相位有所不同。这一性质简单证明如下：

　若：

　( ) ( ) x t y t  由比例性得：

　2 2( ) ( ) x t y t    据微分性有：

　2 22 2( ) ( ) d x t d y tdt dt 据叠加性有：

　2 22 22 2( ) ( )[ ( )] [ ( )]d x t d y tx t y tdt dt    

　 0( )j tx t x e

　22 202( )( ) ( )j td x tj x e x tdt    

　（2-6）

　 0 ) ( ) ( ) () (2 2 222     t x t x t xdtt d  

　则

　222( )( )d y ty tdt  ＝0

　 （2-7）

　解微分方程（2-7）可得到唯一的解为：

　 ( )0( )j ty t y e  

　（2-8）

　式中：

　 ——初相位。

　 线性系统的频率保持性对研究汽车的振动及仪器系统十分有用。○1 可以利用线性系统的频率保持特性消除干扰，若已知某线性系统输入的频率，则该系统输出的频率必然与之相同，显然，其它频率的信号就是来自外界的干扰——噪声；○2 可以利用线性系统的频率保持性判断系统的属性，对于一个未知系统，若输出的频率与输入的频率相同，则该系统一定是一线性系统。

　 2 、动态 系统的传递函数

　 若线性系统的初始条件为零，即当 0  t 时，

　110 0 0( ) ( ) ( )0n nn nt t td y t d y t dy tdt dt dt     

　110 0 0( ) ( ) ( )0m mm mt t td y t d y t dy tdt dt dt      则对线性系统微分方程（2-5）进行拉氏变换的结果为：

　) ( ) ( ) ( ) (0 111 0 111s x b s b s b s b s y a s a s a s ammmmnnnn        

　 （2-9）

　 将输出的拉氏变换与输入拉氏变换的比值) () (s Xs Y称为系统的传递函数，常用 ( ) H s 表示，即：

　0 1110 111) () () (a s a s a s ab s b s b s bs Xs Ys Hnnnnmmmm       

　 （2-10）

　 工程中的试验系统一般均为稳定系统，其传递函数分母中 s 的幂次数总是高于分子中 s的幂次数，即 n m  。因此，分母 s 的幂次 n 代表微分方程的阶数。

　1, 2, 3, , n n n    所对应的系统分别称为一阶系统，二阶系统，三阶系统，…。

　 由式(2-10)不难看出：○1 传递函数中没有输入 ( ) x t ，即它与系统的输入无关；○2 传递函数中的各系数1 1, 0, , ,n na a a a和1 1, 0, , ,n nb b b b是由系统结构特征决定的，系统结构和类型的不同，其取值各异。②系统的传递函数 ( ) H s 是由适合任何线性系统的微分方程(2-5)所得到的，因此它适合于各类系统，如：电系统、机械系统及机电混合系统等。

　 正因为传递函数具有与系统输入无关、且能够反映系统的全部特征，因此它是分析复杂系统的一个重要工具。

　 前面述及，汽车试验用仪器设备通常是由多种不同仪器所组成的复杂系统，为此我们必须要研究复杂系统的传递函数。对于任何一个复杂系统，都可以看成是由多个简单系统串联、并联、闭环或串、并、闭环混合而成的。若能求解串联、并联或闭环系统的传递函数，则可求解任何复杂系统的传递函数。

　 1）串连系统的传递函数

　 图 2-5 是 ) (1s H 和 ) (2s H 组成的串连系统，设其传递函数为 ( ) H s ，由传递函数的定义可得：

　1 ( )H s2 ( )H s( ) z s( ) H s( ) X s( ) Y s 图 2-5

　串连系统

　 ) ( ) () () () () () () () (2 1s H s Hs Zs Ys Xs Zs Xs Ys H     

　 （2-11）

　 推而广之，由 n 个子系统串连在一起的大系统，其传递函数为：

　( ) H s ＝1( )niiH s

　 （ n i , , 3 , 2 , 1   ）

　 （2-12）

　 2）并联系统的传递函数

　 图 2-6 是一并联系统，其传递函数 ) (s H 为: 1 ( )H s2 ( )H s( ) H s( ) X s ( ) Y s1 ( )y s2 ( )y s 图 2-6

　并联系统

　 ) () () () () () ( ) () () () (2 1 2 1s Xs Ys Xs Ys Xs Y s Ys Xs Ys H   

　( ) H s ＝1 ( )H s ＋2 ( )H s

　 （2-13）

　 对于 n 个子系统并联所组成的大系统，其传递函数为：

　( ) H s ＝1( )niiH s

　（i＝1，2，3，…，n）

　 （2-14）

　 3）闭环系统的传递函数

　 图 2-7 是两个子系统 ) (1s H 和 ) (2s H 组成的闭环系统，该系统的传递函数为：

　1 ( )H s2 ( )H s( ) H s++1 ( )X s2 ( )X s( ) X s( ) Y s 图 2-7

　闭环系统

　 ) () () (s Xs Ys H 

　 （2-15）

　 ) ( ) ( ) (1 1s H s X s Y  

　 （2-16）

　 ) ( ) ( ) ( ) (2 1 1 2s H s H s X s X   

　（2-17）

　 ) ( ) ( ) (1s X s X s X  

　（2-18）

　将式（2-16）、（2-17）、（2-18）代入（2-15）并整理得：

　 ) ( ) ( 1) () () () () (2 11s H s Hs Hs Xs Xs Ys H  

　（2-19）

　第二节

　试验系统的动态响应

　 研究系统动态特性的目的在于深入地了解试验系统的动态响应（即输出），因为系统的输出才是试验所要得到的结果。

　 对于任何一个试验系统，若输入（也称激励）不同，则输出（响应）亦必然不同。为了便于分析又能全面地了解系统的动态响应，人们常利用正弦、阶跃、脉冲等输入来研究系统地动态响应。

　 一、频率响应函数

　 若系统的输入是一个正弦函数（定幅简谐函数），对于线性系统而言，系统的输出一定是同频率、定幅、相位差为  的正弦函数。而且其输出与输入的幅值比相位差正好与对线性系统的微分方程(2-5)进行富氏变换，其输出富氏变换与输入富氏变换之比（频率响应函数）完全等价，即:

　0 1110 11100) ( ) ( ) () ( ) ( ) () () () (a j a j a j ab j b j b j bj Xj Yj H exynnnnmmmm j            

　 （2-20）

　式中：0 0 , yx ——分别为输入和输出的幅值；

　  ——输出与输入的相位差；

　 1 j  。

　式（2-20）是一复函数，任一复数均可写成如下形式，即：

　 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jH j P jQ A A            

　（2-21）

　式中：

　) (  A 为复函数 ) (  j H 的模，其值为：

　 2 2( ) ( ) ( ) ( ) A H j P Q       

　（2-22）

　) (   是 ) (  j H 的相角，其值为：

　 ( )( ) arg ( )( )QH j arctgP   

　 （2-23）

　 频率响应函数的模 ( ) A  和相角 ( )   均是频率的函数，在工程上常将其分别称为幅频特性和相频特性。在直坐标图上画出的 ( ) A    和 ( )     曲线分别称为幅频特性曲线和相频特性曲线。对于动态系统，为了表达上方便，常将 ( ) A  和 ( )   画在对数坐标中，从而便可得到 20lg ( ) A    曲线和 ( )     曲线，二者统称为伯德（Bode）图，如图 2-8所示。

　 (a) 20lg ( ) A   

　曲线

　(b) ( )     曲线 图 2-8

　一阶系统德伯德图

　 系统幅频特性和相频特性的另一种作图法是，将频率响应函数的实部 ( ) P  和虚部( ) Q  分别作为横坐标和纵坐标，画出它们随  的变化曲线，称为奈奎斯特（Nyquist）图，如图 2-9 所示。图中，自坐标原点到曲线上某一频率点所作的矢量长度便是该频率点的幅值( ) H j  ，该矢量与横坐标的夹角便是相角 ( )   。

　图 2-9

　试验系统的奈奎斯特图

　 1、 、 一阶系统的频率响应 函数

　 一阶系统的动态数学模型为：

　1 0 0( )( ) ( )dy ta a y t b x tdt 

　 （2-24）

　将等式两边除以0a 并令00bKa ，10aa  得:

　 ( )( ) ( )dy ty t Kx tdt 

　（2-25）

　对式（2-25）作富氏变换得：

　) ( ) ( ) 1 (    j X K j Y j   

　 2 2) ( 1 ) ( 1 1) (  KjKjKs H

　（2-26）

　式中：

　K ——静态灵敏度；

　  ——时间常数。

　 静态灵敏度系数 K 是一个只取决于系统结构且与输入无关的常数，它不影响系统动态特性的变化规律，为了分析更加简洁和方便，常设 1  K ，这种处理方式称为灵敏度归一处理（在后面的分析中，如无特别说明，则均采用灵敏度归一处理）。如此，一阶系统的和频率响应函数 ) (s H 为：

　2 21 1( )1 1 ( ) 1 ( )H j jj      

　（2-27）

　一阶系统的幅频特性和相频特性分别为：

　21( ) ( )1 ( )A H j   

　 （2-28）

　( ) ( ) arctg     

　（2-29）

　 图 2-10 是一阶系统在正弦输入下，稳态输出的幅频特性和相频特性曲线。当圆频率  增加时，响应的幅值逐渐减少，相位差逐渐增加。此外，系统的响应还与时间常数  有关，当0.3   时，振幅与相位的失真均很小，表明：若系统的时间常数  越小，在系统失真很小情况下的圆频率可以增大，即工作频率范围越宽；反之，  越大，系统的工作频率范围越窄。

　（a）幅频特性

　（b）相频特性 图 2-10

　一阶系统的频率响应

　2、 、 二阶系统的频率响应 函数

　 若式（2-5）中除了2a、1a、0a和0b不为零外，其它各系数均为零，则有：

　 22 1 0 02( ) ( )( ) ( )d y t dy ta a a y t b x tdt dt  

　 （2-30）

　这便是二阶系统的微分方程。

　图 2-11 是二阶系统的实例，由弹簧、质量、阻尼组成的机械振动系统和由电阻 R 、电感 L 、电容 C 组成的电系统的微分方程为：

　 22( ) ( )( ) ( )d y t dy tm c ky t x tdt dt  

　（2-31）

　 22( ) ( )( ) ( )d y t dy tLC CR y t x tdt dt  

　（2-32）

　式中：

　m ——系统的质量；

　 c ——系统的阻尼系数；

　 K ——系统的刚度；

　 C L R 、 、 ——电阻、电感、电容。

　（a）

　机械振动系统

　（b）

　RLC 组成的电系统 图 2-11

　实际的二阶系统

　 比较式（2-32）和式（2-33）不难发现任意的二阶系统与由弹簧、质量、阻尼组成的机械振动系统具有型式相同的数学模型。以机械振动为例分析二阶系统的特征。

　令：

　100 abk 、02naa  、10 22aa a  并将其代入式（2-32）并整理得：

　 22 21 ( ) 2 ( )( ) ( )n nd y t dy ty t x tdt dt   

　 （2-33）

　对于上式作拉氏变换，便得到二阶系统的传递函数 ( ) H s ，即：

　221( )21n nH ss s   

　（2-34）

　若系统的输入t je x t x0) (  ，则可得到二阶系统的频率响应函数 ( ) H j  。

　2221 1( )2( ) 1(1 ) 2n nn nH jj jj        

　 （2-35）

　式中：n ——系统的固有频率，02naa  ；

　  ——系统阻尼比，或称相对阻尼系数，10 22aa a  ；

　  ——系统振动的圆频率。

　 由式（2－35）可得到二阶系统的幅频特性和相频特性，即：

　 2 2 2 21( ) ( )[1 ( ) ] 4 ( )n nA H j      

　 （2-36）

　22( )1 ( )nnarctg  

　 （2-37）

　 图 2-12 和图 2-13 分别是二阶系统的幅频特性、相频特性和二阶系统的伯德图。从图中可以看出：

　（a）幅频特性

　（b）相频特性 图 2-12

　二阶系统的幅频和相频特性

　(a) nA    / ) ( lg 20  曲线

　 (b) n    / ) (  曲线

　图 2-13

　二阶系统的伯德图

　 当 0   时，在 1n 附近，输出的幅值显著增加，即当输入的频率与试验系统的固有频率相等时，系统将产生共振。此时，输出与输入的相位差 ) (   由 0 突然变为 180 。为了避免此现象的发生，最有效的方法是增加  ；随着  的增加，在 1n 附近，输出的幅值会逐渐减少，但当  仍较小时，输出的幅值仍会很大，即 1 ) (   A ；当  足够大，即1   时，输出的幅值 1 ) (   A ，系统不会出现共振现象，但在此情况下， 1 ) (   A 的频率范围较小；只有在 0.8 6 . 0 ～   的范围内， 1 ) (   A 的频率范围最宽，且 ) (   与n近似线性关系，即系统稳态响应的动态误差最小。由此可见，  取不同的数值，会对系统的动态响应带来极大的影响。

　 系统的阻尼比 1   ，称为过阻尼系统； 1   ，称为临界阻尼系统；若 1   ，称为

　 欠阻尼系统。对于欠阻尼系统，由于当 1n 时，系统的输出与输入的相位差090   ，因此可利用这一特点测定系统的固有频率n ，即：给系统一正弦输入，调节其输入信号的频率，直到输出与输入的相位差090   ，此时输入信号的频率  即为系统的固有频率。此测试系统固有频率的方法称为频率共振法。

　 由图 2-12 和图 2-13 还可以看出，在 0.6~ 0.8   时，试验系统固有频率n 越高，动态误差小的工作频率范围越宽；反之，n 越低，试验系统的工作频率范围越窄。由允许幅值误差所决定的试验系统的工作频率范围称为系统的通频带宽。欲提高试验系统的通频带宽，就应提高系统的固有频率n 。

　 对于高阶系统可用上述同样的方法对其进行分析。

　 二、 试验系统的阶跃响应

　 当给试验系统一阶跃输入时，其系统的输出称为阶跃响应。如对系统突然加载或突然卸载均属阶跃输入。阶跃输入信号是一种常见的基本信号，其输入方式既简便易行，又能充分揭示系统的动态特性。

　阶跃输入信号的函数表达式为：

　( )0Ax t 

　 00tt

　 （2-38）

　式中：

　A ——阶跃幅值，当 1  A 时称为单位阶跃，工程测试中，所谈到的阶跃响应，均是指在单位阶跃输入下，系统的响应。

　 1、 、 一阶系统的阶跃响应

　 对一阶系统的微分方程（2-24）进行拉氏变换，并将单位阶跃函数 ( ) x t 的拉氏变换1( ) X ss 代入其中整理得：

　 1( )( 1)Y ss s 

　 （2-39）

　对上式进行拉氏逆变换得一阶系统得阶跃响应函数

　 ( ) 1ty t e 

　（2-40）

　 在灵敏度归一化（ 1  K ）的情况下，常将系统得输出 ( ) y t 与输入 ( ) x t 之差定义为系统的动态误差，用 ( ) e t 表示，即：

　( ) ( ) ( ) 1 1te t y t x t e    

　( )te t e

　（2-41）

　 图 2-14 是一阶系统得阶跃响应曲线和误差曲线。一阶系统阶跃响应曲线得重要特点是：①在 0  t 点的切线斜率0( ) 1tdy tdt  ，据此，在系统参数未知的情况下，由一阶系统阶跃响应的试实验曲线可确定其时间常数  ；② 4 t   时， ( ) 0.982 y t  ，此时系统输出值与系统稳态响应值之差不足 2％。因此，工程上常将 0~4 t   时间断系统的输出称为瞬态，4 t   时，认为系统已进入稳态。显然，时间常数  越小，系统进入稳态所需的时间就短；反之，系统进入稳态的时间就长。一般来说，一阶系统的时间常数  越小越好。

　 （a）阶跃响应曲线

　（b）动态误差曲线 图 2-14

　一阶系统的阶跃响应和动态误差曲线

　2、 、 二阶系统的阶跃响应

　 将前述单位阶跃函数的拉氏变换1( ) X ss 代入二阶系统的传递函数（2-34）并整理得：

　 221( )2( 1)n nY ss s   

　（2-42）

　对上式进行拉氏逆变换得：

　            ）

　（）

　（）

　（1

　 1 211 2111

　1 11

　 1 sin11) (122122222 2           t ttnntn nnne ee ttet y

　（2-43）

　式中：

　 ——相位差 ，21 arctg

　。

　 试验系统的动态误差 ) (t e 为：

　            ）

　（）

　（1

　 1 211 211

　) 1 () 1 (

　) 1 s in (1

　) ( ) ( ) (122122222 2           t ttnntn nnne ee ttet x t y t e （2-44）

　 由式（2-43）和式（2-44）知，当试验系统的响应时间 t  时，动态误差 ( ) 0 e t  ，即试验系统没有稳态误差，这一结论对于振动和噪声的测试十分有用。但系统的响应在很大程度上决定于阻尼比  和固有频率n ，如图(2-15)所示。系统固有频率n 越高，系统的响应越快。阻尼比  直接影响响应的超调量和振荡次数。当阻尼比 0   时，响应的超调量为100％，系统持续振荡而达不到稳态；当 0 1    时，随着  的增大，响应的超调量和振荡次数逐渐减少；当 0.6~ 0.8   ，响应的最大超调量约为 2.5％～10％，系统达到稳态（动

　 态误差 5％～2％）所需的时间最短，约为3 ~ 4n。这就是许多试验系统在设计时，取0.6~ 0.8   的重要原因之一；当 1   时，系统蜕化为两个一阶系统的串连，此时系统虽无超调量（无振荡），但仍需要较长的时间才能达到稳态。上述结论与二阶系统的频率响应应完全相同。

　图 2-15

　二阶系统的阶跃响应

　 用上述分析方法可以得到任意高阶系统的阶跃响应。

　 三、试验系统的单位脉冲响应

　 单位脉冲函数的表达式为：

　 ( )0t   

　00tt

　（2-45）

　 单位脉冲函数的富氏变换 1 )] ( [  t F  ，拉氏变换 1 )] ( [  t L  。因此，当试验系统的输入为 ) (t  时，其输出的拉氏变换和富氏变换分别为：

　( ) ( ) ( ) ( ) Y s H s X s H s  

　 （2-46）

　( ) ( ) ( ) ( ) Y j H j X j H j      

　（2-47）

　系统的输出或称系统的单位脉冲响应为：

　 1( ) [ ( )] ( ) y t L H s h t 

　（2-48）

　1( ) [ ( )] ( ) y t F H j h t  

　（2-49）

　即：系统的单位脉冲响应函数 ) (t h 与传递函数 ) (s H 及频率响应函数互为拉氏变换对和富氏变换对。

　 1、 、 一阶系统的单位脉冲响应

　 对一阶系统的传递函数1( )1H ss 进行拉氏逆变换得一阶系统的脉冲响应函数，即：

　1( )th t e

　（2-50）

　 图 2-16 是一阶系统的单位脉冲响应曲线，曲线揭示了和前面提到的其它典型输入相同的规律。时间常数  大的系统，其响应达到稳态所需的时间就长；反之，响应达到稳态所需

　 的时间就短。当 0 t  时，一阶系统的单位脉冲响应函数1( ) h t ，据此在系统参数未知的

　图 2-16

　一阶系统单位脉冲响应 情况下，利用实验所测得的单位脉冲响应曲线可求出时间常数  。当然，由式(2-45)所给出的单位脉冲函数在实际中是不存在的，工程中常用非常短暂的冲击输入来代替单位脉冲输入，实践表明，当作用时间110t 时，则与单位脉冲很接近。

　 2、 、 二阶系统的单位脉冲响应

　 对式(2-35)进行拉氏逆变换便得到二阶系统的脉冲响应函数 ( ) h t ，即：

　       ）

　（）

　（）

　（1

　 11

　 1

　 1 sin1) (1 122222 2        t tntnntnn nnne etet et h

　 （2-51）

　 从图 2-17 二阶系统的脉冲响应曲线可以看出，当 1   时，响应无振荡；当  很小时（如 1 . 0   ），系统的响应需较长的时间才能进入稳态；当 65 . 0   时，响应很快进入稳态。这与前面对其它典型输入信号的响应所显示的规律一致。

　图 2-17

　二阶系统的脉冲响应函数

　 四、 试验系统的单位斜坡响应

　 从前面对频率响应、阶跃响应及单位脉冲响应的分析中，已了解到时间常数  、阻尼比 和系统固有频率n 对系统响应的影响，但若要更加深入地认识动态系统，我们有必要对单位斜坡输入下系统地响应进行分析。

　 单位斜坡函数事实上是单位阶跃函数的积分。由线性系统的积分性知，单位阶跃响应函数的积分便是单位斜坡响应函数。对试（2-40）和（2-43）进行积分得到一阶系统和二阶系统斜坡响应函数。

　 一阶系统的斜坡响应函数为：

　  /) (te t t y  

　(2-52)

　 二阶系统的斜坡响应函数为：

　）

　（ 53 - 2

　 ) 1 (1 22 1 2 11 22 1 2 1 2) 1 ( )21 (2 2) 1 ( ) 1 sin(12) () 1 (22 2 2) 1 (22 2222 2                          t wnt wnnt w nn nnnt wnn nnnewewwtet ww wtt wwewtt y式中：1 21 222  arctg

　 图 2-18 是试验系统的斜坡响应曲线。无论是一阶系统还是二阶系统，斜坡响应 ) (t y 总是滞后于输入 ) (t x 一段时间，即便是系统进入稳态，仍存在动态误差。

　从式（2-52）和（2-53）中可以看出，一阶和二阶系统的斜坡响应函数中均有三项，其中：第一项等于输入 ) (t x ，显然第二项和第三项便是试验系统的动态误差。第三项中包含有与时间 t 有关的kte  因子，当   t 时，此项趋向于零，即该项是系统的瞬态误差，用 ) (t e s 表示；第二项仅与系统的特性参数  、nw 及  有关，而与时间 t 无关，即系统进入稳态后它仍然存在，故将其称为稳态误差，用 ) (t e w 表示。如此式（2-52）和（2-53）便可改写为如下形式：

　 ) ( ) ( ) ( t e t e t t ys w  

　（2-54）

　式中的稳态误差 ) (t e w 和瞬态误差 ) (t e s 分别为：

　 一阶系统：

　    ) (t e w

　 /) (tse t e

　二阶系统

　 nwt e 2) (  

　              ) 1 (1 2) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 () 1 ( )21 (2) 1 ( ) 1 sin(1) (2) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2222 2          nt w t wt w nnnnt wswe eet wwt wwet en nnn

　 式中：

　 ——相位差，1 21 222  arctg

　（a）阶系统斜坡响应

　 （b）二阶系统斜坡响 图 2-18

　试验系统的斜坡响应曲线应

　 五、 试验系统在任意输入下的响应

　 对几种典型输入下系统响应的分析，使我们对动态试验系统有了一个深入的了解。但在工程实际中，系统的输入很少是上述典型函数，实际输入大多是随机的。为此，我们必须研究任意输入下的系统响应问题。

　 图 2-19 是一任意输入信号 ) (t x ，由系统传递函数及频率响应函数的定义式) () () (S XS YS H  和) () () (jw Xjw Yjw H  得：

　 ) ( ) ( ) ( S H S X S Y 

　（2-55）

　) ( ) ( ) ( jw H jw X jw Y 

　 （2-56）

　图 2-19

　任意输入

　 若能获得传递函数 ) (s H 或频率响应函数 ) (  j H ，便可利用式（2-55）及（2-56）求得系统的输入。在工程测试中，用的较多的是频率响应函数，下面就以频率响应函数为例，介绍任意输入下系统输入的计算方法。

　dt e t x jw Xjwt  ) ( ) (

　（2-57）

　将式（2—57）代入（2—56）得：

　  de jw H x jw Yjw  ) ( ) ( ) (

　 （2-58）

　对 ) (  j Y 作富氏逆变换得到任意输入下的系统响应。

　dw e jw y t yjwt  ) (21) (

　     dw d e e jw H xjwt jwt ) ( ) (21

　         d d e j H xt j ) () ( ) (21

　（2-59）

　第三节

　测试系统动态特性的试验测定

　 从前面几节的学习中我们了解到，欲对一个实际的测试系统有一个全面而深入的了解，需要知道系统的动态特性。那么对于由被测对象的汽车和试验仪器组成的实际测量系统，以及测试系统中各个不同的环节（如 汽车本体、测试仪器）的动态特性如何获取呢？这便是本节将要重点讨论的问题。

　获取测试系统动态特性的办法有很多种，在此着重介绍频率响应法和脉冲响应法。

　 一、 频率响应法

　 由线性系统的频率保持特性知，若系统的输入是一常幅简谐波，则系统的输出一定是一个同频率、定幅、相位差为  的简谐波。设系统的输入为：

　0( )j tx t x e

　 （2-60）

　则系统的输出为：

　( )0( )j ty t y e  

　（2-61）

　系统的频率响应函数 ( ) H j  为：

　00( )jyH j ex

　 （2-62）

　由式(2-62)知，若给系统一系列不同频率单位幅值的简谐波输入，即：

　11 ( )j tx t e

　 22 ( )j tx t e

　 ( )nj tnx t e

　测出系统与之对应的输出为

　1 1( )1 01( )j ty t y e  

　 2 2( )2 02( )j ty t y e  

　( )0( )n nj tn ny t y e  

　在坐标纸上分别绘出输出的幅值ny －  曲线和    曲线即为系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。然后再利用本章第七节中将要介绍的一元非线性回归分析，便可得到测试系统的幅频特性 ( ) A  和相频特性 ( )   ，系统的频率响应函数 ( ) H j  为：

　( )( ) ( )jH j A e  

　（2-63）

　 频率响应法求测试系统动态特性的缺点是既麻烦又费时。因为要想得到频率响应函数( ) H j  ，需对系统进行一系列不同频率的谐波输入，待系统稳定后，测出与之对应的一系列输出。因此这种方法可行，但并不常用。

　 二、 脉冲响应法

　 由前面的分析知，脉冲相应函数   t h 与频率相应函数 ( ) H j  正好是一富氏变换对，即：

　( ) ( )j tH j h t e dt 

　 （2-64）

　 1( ) ( )2j th t H j e d 

　 （2-65）

　由此可见，若给测试系统一单位脉冲 ( ) t  输入，记录下系统的输出   t h ，然后对   t h 进行富氏逆变换，便可得到系统的频率响应函数 ( ) H j  。目前各类谱分析设备基本上都具有此分析功能。比较频率响应法和脉冲响应法不难发现，脉冲响应法比频率响应法更简单易行。但需指出的是，在工程实际中，标准的单位脉冲是不存在的。但若给系统一作用时间小于1 10 的冲击输入，即可近似地认为是单位脉冲输入。

　第 四节 节 试验系统的负载效应

　 汽车试验用仪器系统通常由传感器、放大器、信号调制解调器、滤波器及信号处理设备等组成。所谓测试系统中的负载是相对前一级设备而言的，即后一级的设备是前一级设备的负载。如放大器是传感器的负载，信号处理设备是滤波器的负载等等。在汽车测试过程中，人们都希望被测物理量经传感器测得并转换成的电信号，经过一系列中间设备（如放大器、调制解调器等）的处理后，信号的大小与特征仍能和原被测量保持一致。但事实往往并非如此，信号在多级设备的交换中，不可避免地会发生一些变化，这种现象被称为试验系统的负载效应。

　 负载效应这一名词来自于电路系统，其本意是电路的后级与前级相连时，由于后级阻抗的影响而带来系统阻抗变化的一种效应。

　 图 2-20 是一电压输入型的传感器与放大器相联的示意图，在传感器的输出端子 A 和 B与放大器相连之前，设传感器的输出电压为 u 。若端子 A 、 B 之间的阻抗为ABZ ，放大器的阻抗为1Z ，若将传感器和放大器连成一个回路，根据戴维南定理，可将其简化成图 2-20(b)所示的等效电路。此时放大器的输入电压1u 为：

　（a）实际系统

　 （b）等效电路 图 2-20

　负载效应的示意图

　10110 1 111ZZuZ ZZu i Z uABAB 

　 （2-66）

　显然，0 1u u  ，其原因是阻抗1Z 的存在。欲使1u 接近0u ，则应使ABZ Z 1。即负载的输入阻抗必须远大于前级系统的输出阻抗。将式（2-66）推广到包括非电系统在内的所有系统则有：

　 ) (11) ( ) (00t xZZt xZ ZZt ygigiig

　（2-67）

　 式中：gy (t)——广义变量的输出；

　 gx (t)——广义变量的输入；

　iZ ——广义输入阻抗；

　0Z ——广义输出阻抗（或称负载阻抗）。

　 任何一个试验系统，至少应由被测对象和测量装置二者级联所组成。如图 2-21 所示。) (1S H 和 ) (2S H 分别是被测对象和测试装置的传递函数。

　) (t x 为被测量，被测对象的输出

　图 2-21

　被测对象与测试装置组成的系统 量 )] ( ) ( [ ) (11S X S H L t Z ，测试系统的输出 )] ( ) ( [ ) (21S Z S H L t y 。在 ) (t y 与 ) (t z 之间，由于传感器、信号调理及数据处理等中间环节的影响及系统前、后环节间的能量交换，试验系统的输出 ) (t y 很可能不等于被测量，甚至也不等于被测对象的输出量 ) (t z 。在前面对串联，并联系统传递函数的分析中，均没有记入前、后环节间的能量交换因素，而对于实际的测试系统，除光、波等非接触式传感器之外，任何系统的互联均会产生能量交换，因此对于图 2-21 所示的串联系统，其传递函数 ) (1S H 和 ) (1S H 乘积只要不等于 1，测试系统的输出就不可能与被测量完全相等，其结果必然会影响到测试精度，这种对测试精度的影响称为测试系统的 负载效应。图 2-22 是汽车试验中的一个最典型的例子，尽管加速传感器、非接触式五轮仪及数据记录设备的质量1m 、2m 和3m 与汽车的总质量 m 相比是一个较小的量，但1m 、2m 和3m 的存在不可避免的会改变汽车的动态特性，即被测对象（汽车）自身的传递函数发生了变化，已不再是原来的 ) (1s H ，而变成了包含1m 、2m 、3m 、3 2 1, , k k k 和3 2 1, ,   在内的新的传递函数 ) (1sH。由于 ) ( ) (1 1s H s H   ，所以必然会带来测试误差，即负载效应。

　图 2-22

　简化的汽车振动模型

　 汽车总质量c b am m m m    ；am 、bm 、cm ——汽车前桥、后桥的质量、汽车簧载质量；1m 、2m 和3m ——加速度传感器、五轮仪和数据记录设备的质量；3 2 1, , k k k 和3 2 1, ,    ——1m 、2m 、3m 安装部位的刚度和阻尼；1 1 , b ak k ——前后轮的刚度；1 1 , b a ) (1s H ) (2s H) (s H) (t x ) (t z ) (t y

　 ——前后车轮的阻尼；2 2 , b ak k ——前后悬架的刚度； 2 2 , b a  ——前后悬架的阻尼。

　 一、 一阶系统的互联

　 图 2-23(a)和(b)是不同的一阶系统，第一个一阶系统的微分方程为：

　zu R i dx  1 1

　（2-68）

　dtduc iz1

　 （2-69）

　将式（2-69）代入式（2-68）并整理得:

　x zzu udtduR c  1 1

　（2-70）

　对上式进行拉氏变化，得第一个一阶系统的传递函数。

　 ss H1111) ( 

　 （2-71）

　式中：1 ——时间常数，1 1 1R c   。

　图 2-23

　两个一阶系统的互联

　 用同样的办法可得第二个一阶系统的传递函数。

　 sss H2221) (

　 （2-72）

　式中：2 ——时间常数，2 2 2R c   。

　 若不加任何隔离措施将此两个一阶系统直接串联，则输出电压与联接点的电压比为：

　 sss Us Uzy221 ) () (

　（2-73）

　联接点右侧的阻抗2z 为：

　 s Css CS C Rs cR z2222 222 2111    

　 （2-74）

　令 z 为1R 右边电路的阻抗，其值为：

　 21 2 2 122212212121) (11 11.111s c s c css css cs css czs czs cz 

　（2-75）

　 s s c R s c c RsZ RZs Us Uxz221 1 2 2 1 1211 ) (1) () (    

　22 1 2 1 2 12) ( 11s s c Rs      

　 （2-76）

　显然两个一阶系统联接后的传递函数应为：

　   ) () (.) () () () () (s Uxs Uzs Uzs Uys Uxs Uys H22 1 2 1 2 12) ( 1 s s c Rs      

　（2-77）

　而

　s ssssss H s H2 1 2 122212 1) ( 1 1 11) ( ) (       

　 （2-78）

　 由式(2-77)和式(2-78)可以看出， ) (s H ≠ ) ( ). (2 1s H s H 。其原因是：在两个串联的一阶系统之间有能量交换所带来的负载效应，欲避免此负载效应，最简单的办法是隔离，即在两级之间插入跟随器，跟随器的输入阻抗很大，基本上不从第一级取电流，此外跟随器的输入内阻极小，不因后端的负载而改变其输出电压。

　 二、 二阶系统的互联

　 若将图 2-22 所示测量汽车振动的试验系统简化模型作进一步地简化，便可得到图 2-24所示的由两个最简单的二阶系统串联的振动模型。

　图 2-24

　简化的汽车振动测量系统 根据牛顿第二定律可列出该振动测试系统的微分方程

　     0 ) () ( ) (1 1"1 11 1" "x x k x mt f x x k kx mx

　 (2-79) 对上式进行富氏变换并整理得:

　        0 ) ( ] [ ) () ( ) ( ) ( ) ( [1 121 11 1 12     j X k m j X kj F j X k j X k k m

　(2-80) 解上述方程组得:

　 Bk m j Fj X] )[ () (121  

　 (2-81)

　 Bk j Fj X11) () ( 

　(2-82) 式中：

　1211 12) (k m kk k k mB     

　 4 21 2 1 1 1 1 1( ) m m m m k m k kk       

　(2-83) 令 0  B ，并将等式两边同时除以1mm 得：

　 4 2 2 2 2 21 1( ) 0n n n nkm          

　(2-84)

　 式中：n —— k ， m 系统的固有频率， nkm 

　1 n ——k 1 ，1m 系统的固有频率， 111nkm 

　解方程(2-84)可得两个二阶系统直接串联所组成的大系统的固有频率  。若将 , k m 和1 1, k m 两个系统隔离后串联，则式（2-81）和（2-82）中的分母（为了便于与未隔离的系统区别，在此用"B 表示）为：

　" 4 21 1 1 2 1( ) B mm mk m k kk      

　令"B ＝0，并将等式两边同时除以1mm 得：

　4 2 2 2 2 21 1( ) 0n n n n         

　（2-85）

　 比较式（2-84）和（2-85）知，直接串联和隔离后串联所组成的系统，其固有频率不相等，因为2 项前的系数不同。

　 从式（2-84）中不难看出，若将此二系统互联后，系统的固有频率不再是原两个系统的固有频率，而是向两端偏移，即：一阶固有频率比互联后的低频要低，二阶固有频率比互联前的高频要高。其偏移量的大小由参与能量交换的元件参数（1,k m ）决定。这一现象表明，被测对象装上传感器后，系统的动态特性发生了变化。欲提高测量精度，就必须尽可能地减少包括传感器在内的测量系统对系统动态特性的影响。这一点对于汽车试验而言尤为重要。因为进行汽车试验时，整个测试系统都需要置于车上。因此，汽车道路试验仪器的小型化一直是人们追求的一个重要目标。

　第 五节 节 试验系统的不失真测量

　 关于试验系统的失真问题，主要反映在动态试验系统中，关于静态测量，无论系统多么复杂，由式（2－1）知，若忽略测试误差和漂移的影响，输入与输出之间存在一一对应的关系，不存在失真的问题。然而对于动态试验系统，由前面对各种典型输入下系统的响应的分析知，当系统进入稳态后动态误差才很小可以忽略，即可以认为试验结果没有失真。但对于斜坡输入下的响应，即使系统进入稳态，动态误差依然存在，即始终都会存在失真问题。显然，对于...

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