证明数列收敛

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a) 数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b) 例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1 (a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e

2、求n?lim (其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a) 单调增加有上界的数列必收敛；

b) 单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。

例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。

注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0 ("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。

ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0

ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7

）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

A无穷小量B无穷大量C有界变量D无界变量2

数列证明

1、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（Ⅰ）数列{

2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明：
nSn}是等比数列；

（Ⅱ）Sn14an.n1(an1)(nN).

3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求证数列an是等比数列。

3、已知数列{an}的前项和为Sn，且满足an2SnSn10n2a11。 21

○1 求证：是等差数列

；
○2求an的表达式；

Sn

4、在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

5、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

an的前n项和Sn bn 2

6、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；

⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；

n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2,Sn0),a1

（Ⅰ）求证：数列{

2.91}为等差数列；
Sn

8、已知数列{an}满足a11，an12an1

（1）求证：{an1}是等比数列

（2）求an的表达式和Sn的表达式

9、数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)． （Ⅰ）求数列an的通项an；

（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

1、已数列满足条件：（

*

）

（Ⅰ）令（Ⅱ）求数列（Ⅲ）令

，求证：数列的通项公式；

，求数列

是等比数列；

的前n项和

2、设关于x的一元二次方程anx-an1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用an表示an1；

2n13．设数列an满足a13a23a3…3ann*，aN． 3（Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bn

4、在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N﹡.(1)证明数列{an-n}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N﹡皆成立.

n，求数列bn的前n项和Sn． an

5、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1= (1)求证:

6、数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N﹡).

1.21（2）求an表达式.是等差数列；
Sn(I)求数列{an}的通项an；

（II）求数列{nan}的前n项和Tn .

7、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝

8 .证明：数列{bn}是等差数列；

2n－1(2)求数列{an}的前n项和． an

1、已知数列an满足a1=1，an13an1.（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

2

2数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.

an

3、数列an满足a11,nan1(n1)ann(n1),nN*.(Ⅰ)证明：数列是等差数列；

n

4、已知首项都是1的两个数列，求数列

的通项公式；

（），满足.（1）令

5、设各项为正数的数列an的前n和为Sn,且Sn满足.Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*

（1）求a1的值;（2）求数列an的通项公式;

收敛，是人生一种境界

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