直线方程教案模板doc

7.2直线的方程

教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．

（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．

（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．

（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．

（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．

教学建议 1．教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；
由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；
再由两点式导出截距式；
最后都可以转化归结为直线的一般式；
同时一般式也可以转化成特殊式．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．

解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；
另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．

直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．

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②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．

2．教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；
一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．

（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．

直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．

（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．

求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．

（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；
距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．

（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．

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（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和dc,FKMCKVN其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．

（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．

（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．

教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程的对应关系及其证明． 教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：
教学设计思路：
（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次． 肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．

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肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．

启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？” （二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：
思路一：… 思路二：… ……

教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．

当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程． 当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．

综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于的二元一次方程．

至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？ 学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．

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这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中不同时为0）的二元一次方程．

启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？

【问题2】任何形（其中不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）系数-A/B是否为0恰好对应斜率K是否存在，即

（1）当B不为0时，方程可化为

y=-A/B X –C/B

这是表示斜率为k、在x轴上的截距为b的直线．

（2）当B=0时，由于A,B不同时为0，必有A不为0，方程可化为X=-C/A

这表示一条与X 轴垂直的直线．哦干吗r，

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．

为方便，我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．

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Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；
反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；
这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b 。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。

我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=- 平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是：
3y＋４＝－4（x－6） 3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.

平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳：

一、直线的倾斜角与斜率

1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件

注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量

2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；

②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00 ③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α

④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k =tan α(α≠900) 。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。

注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k =0；
当000；
当α=900时，k 不存在，当900

1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；
②若直线倾斜角为tan α，则直线的倾斜角为α；

③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；
④直线的斜率越大，其倾斜角越大；
⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例

2、已知直线的倾斜角为α，且sin α=4，求直线的斜率k 5

4、直线斜率的坐标公式

经过两点P 的直线的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) x 1-x 2 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x ) 12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特别地：当y 1=y 2, x 1≠x 2时，k =0；
此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；
当y 1≠y 2, x 1=x 2时，k 不存在，此时

直线的倾斜角为900，直线与y 轴平行或重合。

例

3、已知点P (2,1),Q (m , -3) ，求直线P , Q 的斜率并判断倾斜角的范围。

例

4、（三点共线问题）已知A (-3, -5), B (1,3), C (5,11) 三点，证明这三点在同一条直线上 例

5、（最值问题）已知实数x , y ，满足2x +y =8，当2≤x ≤8时，求y 的最大值和最小值 x

5、直线的方向向量：已知P 是直线l 上的两点，直线上的向量PP 及与它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) 12称为直线的方向向量。直线PP 与x 轴不垂直时，x 1≠x 2，此时，向量12的坐标是

1也是直线PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 为直线PP 的斜率 (x 2-x 1, y 2-y 1) ，即（1，k ）12x 2-x 1

6、直线的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量。

二、直线的方程

1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2、直线方程的几种形式 （1）点斜式：

问题：若直线l 经过点P ，且斜率为k ，求直线l 的方程。

0(x 0, y 0) 解析：设点P (x , y ) 是直线l 上不同于点P 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k =y -y 0，可化为0 x -x 0、斜率为k 的直线l 的方程。

y -y 0=k (x -x 0) ，即为过点P 0 方程y -y 0=k (x -x 0) 是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。

注意：①k =y -y 0与y -y 0=k (x -x 0) 是不同的，前者表示直线上缺少一个点x ≠x 0，后者才是整条直线；

x -x 0 ②当直线l 的倾斜角为00时，tan 00=0，即k =0，这时直线l 的方程为y =y 0 ③当直线的倾斜角为900时，直线l 斜率不存在，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 轴的直线。

④经过点P 的直线有无数条，可分为两类情况：
0(x 0, y 0) ⅰ、斜率为k 的直线，方程为y -y 0=k (x -x 0) ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x -x 0=0或写为x =x 0 例

6、根据条件写出下列各题中的直线的方程

①经过点P ，倾斜角α=450，②经过点P , 2) ，斜率为2 ③经过点(4,2) ，且与x 轴平行 1(-2,3) 1(1④经过点(-2, -3) ，且与x 轴垂直 （2）斜截式：

问题：已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是P (0,b ) ，代入直线方程的点斜式，得直线l 的方程y -b =k (x -0) ，也就是y =kx +b ，我们称b 是直线l 在y 轴上的截距。

这个方程是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。

注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 轴的直线

③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y =kx +b ，但有区别：当斜率不为0时，y =kx +b 是一次函数，当k =0时，y =b 不是一次函数；
一次函数y =kx +b （k =0） 必是一条直线的斜截式方程。

例7、求倾斜角是直线y =+1的倾斜角的1，且在y 轴上的截距为-5的直线的方程。

4 （3）两点式：

问题：已知直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) ，求直线l 的方程 解析：因为直线l 经过两点P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，) 所以它的斜率k =y 2-y 1，代入点斜式，得 x 2-x 1 y -y 1= y 2-y 1 (x -x 1) ，当y 2≠y 1时，方程可以写成y -y 1=x -x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。

注意：①方程y -y =y 2-y 1(x -x ) 与方程y -y 1=x -x 1比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；
局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。

②两点式方程与这两个点的顺序无关。

例

8、已知点A (-5, 0) ，B (3,-3) ，求直线AB 的方程

例

9、一条光线从点A (3,2) 出发，经x 轴反射，通过点B (-1, 6) ，求入射光线和反射光线所在直线的方程 （4）截距式：

问题：已知直线l 与x 轴的交点为(a , 0) ，与y 轴的交点为(0,b ) ，其中a ≠0, b ≠0，求直线l 的方程。

解析：因为直线l 经过A (a , 0) 和B (0,b ) 两点，将这两点的坐标代入两点式，得如果直线与x 轴的交点为(a , 0) ，则称a 为直线在x 轴上的截距。

以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直 a b y -0x -a ，即为x +y =1 = b -00-a a b 线。

例

10、过两点A (-1,1) ，B (3,9)的直线在x 轴上的截距为 （5）一般式方程：

以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x y 的二元一次方程表示；

而关于x y 的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。

②直线的一般式方程成立的条件是A,B 不同时为0。

③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程， 若A ≠0, 则方程可化为x +B y +C =0; 若B ≠0，则方程可化为A x +y +C =0，即y =-A x -C ; A A B B B B 若A =0，B ≠0时，方程化为y =-C , 它表示与x 轴平行或重合的直线；

B 若A ≠0，B =0时，方程化为x =-C ，它表示一条与y 轴平行或重合的直线；

A 若ABC ≠0时，则方程可化为 x -A + 因此只需要两个条件即可。

y =1-B ④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式 例

11、设直线l 的方程为(m -2m -3) x +(2m +m -1) y =2m -6，根据下列条件分别确定m 的值 （1）l 在x 轴上的截距为 -3 （2）l 的斜率是 -1 （6）点向式：

问题：设直线l 经过点P ，v =(a , b ) 是它的一个方向向量，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析:设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则向量P 与v 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t ，0P x =x 0+at ①，使P ，即(x -x 0, y -y 0) =t (a , b ) ，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。

0P =tv ⎨ ⎩y =y 0+bt 2 2 如果直线l 与坐标轴不平行，则ab ≠0，于是可得 x -x 0y -y 0 =t , =t ，消去参数t ，得到直线l 的普通方程 a b x -x 0y -y 0 这个方程称为直线l 的点向式方程，a , b 叫做直线l 的方向数。

= a b 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的方向向量？ （7）点法式：

问题：设直线l 有法向量n =(A , B ) ，且经过点P ，求直线l 的方程 0(x 0, y 0) 解析：设P (x , y ) 是直线l 上的任意一点，则有P ，即P 0P ⊥n 0P ⋅n =0 因为PP 0=(x -x 0, y -y 0) ，n =(A , B ) ，所以有A (x -x 0) +B (y -y 0) =0 这个方向是由直线l 上一点P 及直线l 的法向量n 确定的，称为直线l 的点法式。

0(x 0, y 0) 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的法向量？

三、直线的位置关系（同一平面上的直线）

1、平行与垂直 （1）两条直线平行的判定

①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定

设两条直线分别为，则l 1, l 2的倾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，

可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此时b 1≠b 2；
反之也成立。

所以有l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1不为0） 或l 1//l 2⇔A （可用直线的方向向量或法向量解释） 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知点A (2,2) 和直线l ：3x +4y -20=0，求过点A 和直线l 平行的直线。（引出平行直线系方程） （2）两条直线垂直的判定

①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 则得直线l 1的方向向量为：a =(1, k 1) l 2的方向向量为：b =(1, k 2) ，所以有l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔1⨯1+k 1⋅k 2=0 即l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1 注意：
或用两条直线的倾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1) =- =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2⇔A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1 ，得到k 1⋅k 2=-1 tan α1

②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。

由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。

注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：
设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知两直线l 1：x +my +6=0，l 2：
(m -2) x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标

例

16、求证：不论m 为取什么实数，直线(2m 2-1) x +(m 2-1) y =m 2-5总通过某一定点 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求与直线3x +4y +1=0垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程） ) 例

17、已知直线ax -y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1) 时，y >0恒成立，求a 的取值范围；

16 时，恒有y >0，求x 的取值范围

四、到角、夹角 （1）到角公式

定义：两条直线l 1和l 2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l 1绕交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角， 如图，直线l 1到l 2的角是θ1， l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：设已知直线方程分别是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1⋅k 2=0，即k 1⋅k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1⋅k 2≠0，设l

1、l 2的倾斜角分别为α1, α2，则tan α1=k 1, tan α2=k 2 由图1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1) 由图2）的θ=π-(α1-α2) =π+(α2-α1) ， 所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1) 0+tan(α2-α1) ==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1) 1-0 于是tan θ=tan(α2-α1) = tan α2-tan α1k -k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2 （2）夹角公式

定义：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以当l 1与l 2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则tan α=当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角为 k 2-k 1 ，即为夹角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x -2y -2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y -1=0，点(-2,0) 在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程

五、两条直线的交点坐标：

1、设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2是否有交点，只需看方程组

⎧A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ⎨ ⎩A 2x +B 2y +C 2=0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

若方程组有无穷多解，则两直线重合

例

19、求经过两直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程。

经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直线l 2。

2、对称问题

（1）点关于点的对称，点A(a，b) 关于P , y 0)的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b ，即B （2x 0-a , 2y 0-b ） 。

（2）点关于直线的对称，点A (x 0, y 0)关于直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）的对称点

A " (x 1, y 1)，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。

（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交点的已知点P 1关于对称轴对称的点P 2，那么经过交点及点

P 2的直线就是l 2；
若直线l 1与对称轴l 平行，则在l 1上任取两不同点P

1、P 2，求其关于对称轴l 的对称

点P

1、P 2，过P

1、P 2的直线就是l 2。

例题20、已知直线l :x +y -1=0，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；
②直线l 1:y =2x +3关于直线 " " " " l 的对称的直线方程。

例题21、求函数y =

六、两点间的距离，点到直线间的距离 +的最小值。

P （1）两点间的距离：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 则

（2）点到直线的距离: l 已知点P ，求点P 0(x 0, y 0)，直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）0到直线的距离。

解法一：如图，作P 0Q ⊥l 于点Q ，设Q (x 1, y 1) ， 若A,B ≠O, 则由k 1=- A B (, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1) ， ⎧Ax +By +C =0 ⎪

B ⎨B y -y =(x -x ) 从而直线P 的方程为，解方程组Q y -y =(x -x 0) 得0000⎪A ⎩A ⎧B 2x 0-ABy 0-AC x =⎪⎪1A 2+B 2 ⎨2 ⎪y =A y 0-ABx 0-BC 1⎪⎩A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。

l 解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线

于R 和S ，则直线P 0R 的方程为y =y 0，R 的坐标为（- By 0+C , y 0）；

A x , -直线P 0S 的方程为x =x 0，S 的坐标为（-0 Ax 0+C ）， B 于是有P 0R =- Ax 0+By 0+C By 0+C -x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P -y 0= , RS =0S =- B B 0+By 0+C 。

=d ，由三角形面积公式可得d ⋅RS =P 设PQ 00R ⋅P 0S .于是得d = 因此，点P 0(x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C = 0的距离d =上式仍成立。

注意: P 0R ⋅P 0S RS = 容易验证，当A=0或B=0时，

①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；

②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；

③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax 0+By 0+C =0。

（3）两平行线间的距离。

定义；
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。

两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2= 0的距离公式d = 推导过程：设P 则P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距离

0(x 0, y 0)为直线l 1:Ax +By +C 1=0上任意一点，0为d = ，又因为P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y 的系数分别相等。

例题

22、求经过点A(-1,2)与B(-,0) 的直线上一点C （5，n ）到直线x +y =1的距离。

例题

23、求经过点A （1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。

例题

24、已知三角形ABC 中，点A （1，1），B （m ）（1

例题

25、求过点P （1，2）且与A （2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。

作业：

1、设θ∈( 52 π 2 , π) ，则直线x cos θ+y sin θ+1=0的倾斜角α为（ ） (B ) θ (C ) θ+ (A ) θ- π 2 π 2 (D ) π-θ

2、设P （x ，y ）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则 y 的取值范围是 ( ) x A ．[-3, 3] B ．(-∞, -3]⋃*, +∞) C ．[-3, ] D ．(-∞, -]⋃*, +∞) 3333

3、已知M (2，－3) ，N (－3，－2) ，直线l 过点A (1，1) 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 3 或k ≤－4 4 3 B .－4≤k ≤ 4 33 C .≤k ≤4D .－≤k ≤4 44

4．过点P （6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 A ．2x +3y -6=0 C ．x -y +3=0 B ．2x +3y -6=0或3x +4y -12=0 D ．x +2y -2=0或2x +3y -6=0

5、若直线l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2, 则直线l 的条数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b) 的图象只可能是( )

7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上, 则有 ( ) (A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2a－b=3 (D)a－2b=3

8、直线l 经过原点和点(－1, －1), 则它的倾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0与直线l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，则方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2） 2 =0,(λ1≠0) 表示 （ ） +λ22

A.过l 1与l 2交点的一切直线 B.过l 1与l 2的交点，但不包括l 1可包括l 2的一切直线 C.过l 1与l 2的交点，但包括l 1不包括l 2的一切直线 D.过l 1与l 2的交点，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直线 10.方程(a －1) x －y +2a +1=0(a ∈R ) 所表示的直线 ( ) A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3) 和点(2，3) D.都是平行

11、过点(-1，) 且与直线3x -y +1=0的夹角为 π

的直线方程是（ ） 6 A、x -3y +4=0 B、x +1=0或x +3y -2=0 C、x+1=0或x -y +4=0 D、y =或x +3y -2=0

12、直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是_________。

13、直线l 的方向向量为（-1，2），直线l 的倾斜角为

14、已知直线L 过P （-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L 的方程为。

15、已知点M (a , b ) 在直线3x +4y = 15上，则

16、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直线的方程; （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程; （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程.

17、求到两直线l 1：
3x +4y -5=0和 l 2：6x +8y -9=0距离相等的点P (x , y ) 满足的方程

《直线的方程》教案

一、教学目标

知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围

过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程 情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。

二、教学重难点

教学重点：点斜式方程

教学难点：会使用点斜式方程

三、教学用具：直尺，多媒体

四、教学过程

1、复习导入，引入新知

我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）

那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。

2、师生互动，探索新知

探究一：在平面直角坐标系中，直线L过点P（0,3），斜率K=2，Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，如ppt上图例所示。

通过上节课所学，我们可以得出什么？

由于P,Q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线L的斜率，可以得出公式：Y-3\\\\X-0=2 那我们就可以的出方程Y=2X+3 所以就有L上的任意一点坐标（X,Y）都满足方程Y=2X=3,满足方程Y=2X+3的每一个（X,Y）所对应的点都在直线L上。

因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。

3、知识剖析，深化理解

我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。

设 Q(X,Y)是直线L上不同于点P的任意一点，由于点P,Q都在L，求直线的方程。

设点P（X0，,Y0），先表示出这个直线的额斜率是Y-Y0\\\\X-X0=K，然后可以推得公式Y-Y0=K(X-X0) 那如果当X=X0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（X不能等于X0）

1） 过点

，斜率是K的直线L上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ P(X0,Y0)

(X0,Y0)

，斜率为K的直线L上吗？ 2） 坐标满足方程（1）的点都在经过P那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。

直线的点斜式是不是满足坐标平面上所有的直线呢？

小组讨论：当直线与X轴垂直时，倾斜角为直角时，直线方程怎么写？（Y-Y0=KX） 当直线与Y轴垂直时，倾斜角为零时，直线方程怎么写？（Y=K(X-X0) 那我们带入与X垂直的一条线上的坐标（3,0）（3,1），斜率为K，算出（Y=3K,Y=3K+1）

点斜式就不满足这个条件的直线，大家子啊照例做做下一个，还是不一样是吧，这个点斜式不能满足。（它只能满足斜率存在的直线。）

4、巩固提高：做一做习题1的第一小题：经过点p（1,3）斜率为1,求出方程，并且画图。（Y=X+2）

5、课堂小结：这节课我们学习了直线方程的点斜式方程，知道了这种方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直线，那怎么办呢？我们下节课继续学习。课后大家预习后边的内容，巩固今天所学习的知识。

6、板书：点斜式的概念及图形。

直线方程

知识框架图

直线的倾斜角与斜率点斜式斜截式直线的方程两点式直线方程的综合运用截距式一般式两直线相交的判定及求相交两直线所成的角及求法两直线垂直的条件直线两直线的位置关系平行两直线平行的条件重合两直线重合的条件点在直线上的条件点到直线的位置关系点到直线距离的求法平行直线系直线系垂直直线系共点直线系其交点

直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为0，所以直线的倾斜角的范围是0180或0。

2、直线的斜率:倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即ktan90。

（1）斜率的计算公式 （2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在于不存在这两种情况，否则会出现漏解。

（3）斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。

直线方程的几种形式

1、点斜式：过已知点x0,y0，且切斜率为k的直线方程可以写成点斜式：yy0kxx0。

2、斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程可以写成斜截式：ykxb

3、两点式：若已知直线经过x1,y1和x2,y2两点，且x1直线的方程可以写成两点式：

yy1y2y1xx1x2x1x2,y1y2，则

4、斜截式：若已知直线在想x轴、y轴上的截距分别是a、ba0,b0,则直线方程可以写成斜截式：

xayb1。

5、特殊位置的直线方程：y轴所在直线的方程为x0；
平行于y轴的直线方程为：xaa0；
x轴所在直线的方程为y=0；
平行于x轴的直线方程为ybb0

6、一般式：任何一条直线的方程均可写成一般式AxByC0A、B不同时为0的形式。反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

两直线的平行于垂直 设两直线方程分别为

l1:yk1xb1或A1xB1xC10；
l2:yk2xb2或A2xB2yC0A1,B1,C1,A2,B2,C2全部为零

的

，

当

1、l1//l2k1k2且b1b2或k1k2且b1b2或A1A2B1B2A1A2B1B2C1C2。特别

C1C2时两直线重合。

2、l1l2k1k21或A1A2B1B20

两直线的夹角

1、把两相交直线中的直线l1以逆时针方向绕交点旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，它是向角，其范围是0。

2、直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角（或

0,l不大于直角的角），又称为1和l2所成的角，它的取得范围是2。

点到直线的距离公式

设点Px0,y0和直线l:AxByC0.

1、若点d2p不在直线2l上，则点。

p到

l的距离为Ax0By0CAB点p在直线l上也满足

2、两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC2直线系方程

0的距离为dC1C2AB22

具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系，它的方程称为直线系方程，直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直角系有如下两类：

1、平行系

（1）斜率为k0（常数）的直线系：yk0xbb为参数 （2）平行

于

已

知

直

线A0xB0y0A0,B0是不全为零的常数的直线系：A0xB0yC0C0。

2、垂直直线系 （1）与斜率为k0k0（2）垂直

0的直线垂直的直线系：y1xb(b为参数）k0 线

于已知直A0xB0yC0A0、B0是不全为零的常数的直线系：B0x-A0y0为参数

3、过已知点的直线系

（1）以斜率k作为参数的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0;ykxb0,直线过定点0,b0。其中过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内。

过两条直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系：

2A1xB1yC1A2xB2yC20为参数，其中直线l不在直线系内。

11．1 （２）直线方程（点法向式）

一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程axbyc0（a、b不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；
学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.

三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；

四、教学过程设计

一、复习上一堂课的教学内容

二、讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的．

2、概念形成

 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示.

 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0①；
反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线.我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量.



3、概念深化

从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,u).

4、例题解析

例1 已知点A1，2，B3，4，求AB的垂直平分线l的点法向式方程.解 由中点公式，可以得到AB的中点坐标为1,3，AB4,2是直线l的法向量， 所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4x12y30 [说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点A(1,6),B(1,2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 （1）BC边所在直线方程；

（2）BC边上的高AD所在直线方程.解（1）因为BC边所在直线的一个方向向量BC＝（7，5），且该直线经过点B(1,2)，所以BC边所在直线的点方向式方程为

x1y2 75（2）因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC＝（7，5），且该直线经过点A(1,6)，所以高AD所在直线的点法向式方程为

7(x1)5(y6)0

５、巩固练习 练习11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；
那么每一个关于x,y的二元一次方程axbyc0（a，b不同时为表示一条直线呢？

2、概念形成

 直线的一般式方程的定义

0）是否都直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程axbyc0.反之，任意二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当b0时，方程可化为axb(y)0，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)，以(a,b)为一个法向量的直线；
当b0时，方程为axc0，由于a0，方程化为x直线.所以二元一次方程axbyc0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析

例1 ABC中，已知A(1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程.cbcbcc，表示过点(,0)且垂直于x轴的aa解 直线过AB中点D(1,3)，nAB(4,2)，则其点法向式方程为4(x1)2(y3)0，整理为一般式方程2xy50.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2（1）求过点A(2,5)且平行于直线l1:4x3y90的直线方程；

（2）求过点B(3,4)且垂直于直线l2:3x7y60的直线方程.解 （1）解一：n(4,3),d(3,4)，又直线过点A(2,5)，故直线的方程为4(x2)3(y5)化简得4x3y230.解二：n(4又,3),直线过点A(2,5)，故直线的点法向式方程为4(x2)3(y5)0化简得4x3y230.解三：设与l1:4x3y90平行的直线方程为4x3yc0，又直线过点A(2,5)故4(2)35c0，c23，所以直线的方程是4x3y230.（2）解一：l1的法向量n1(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,4)，故直线的方程为7(x3)3(y4)化简得7x3y330.解二：设与l2:3x7y60垂直的直线方程为7x3yc0，又直线过点B(3,4)故733(4)c0，c33，所以直线的方程是7x3y330.[说明]一般地，与直线axbyc0平行的直线可设为axbyc0(其中cc)；
而与直线axbyc0垂直的直线可设为bxayc0.例3能否把直线方程2x3y50化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？ 解：
x1y1x1y1x2、32323y

13、x4y1……

6422(x1)3(y1)0、4（x+4）+6(y-1)=0……

能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

所有的方向向量之间存在：一个非零实数，使得d1d23,2；

易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

所有的法向量之间存在：一个非零实数，使得n1n22,3

变式：直线axbyc0的方向向量可以表示为b,a

直线axbyc0的法向量可以表示为a,b

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.

三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习

1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab0时，求直线AB的方程；

（2）若过点P(4,3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.

2、已知直线l过点P(2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点.

（1）若P为AB中点，求直线l的方程；
（2）若P分AB所成的比为2，求l的方程.

3、已知直线l的方程为：(a2)x(12a)y43a0(常数aR) （1）求证:不论a取何值，直线l恒过定点；

（2）记（1）中的定点为P，若lOP（O为原点），求实数a的值.

4、ABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,3)、B(2,4)、C(6,1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；
（2）D点坐标.

5、．过点P(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.

6、已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10都通过P(2,3),求证：经过两点Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)的直线方程是2x3y10.

四、课堂小结 １.直线的点法向式方程和一般方程的推导；

２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素

五、课后作业

习题11.1 A组5,6,7；
B组3，4 习题11.1 A组8 补充作业：

1.直线3xy20的单位法向量是___________.2.直线l的一般式方程为2x3y70，则其点方向式方程可以是__________；
点法向式方程可以是_____________.3.过P(4,3)且垂直y轴的直线方程是_______________.4.若直线(2m)xmy30的法向量恰为直线xmy30的方向向量，求实数m的值.5.已知点P(2,1)及直线l:3x2y50，求：

（1）过点P且与l平行的直线方程；
（2）过点P且与l垂直的直线方程.6.正方形ABCD的顶点A的坐标为(4,0)，它的中心M的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线AC,BD所在的直线方程.7.已知A,B,C的坐标分别为(1,3),(b,0),(0,c)，其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l的方程；
若不存在，说明理由.8.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)

（1） 证明：直线l过定点；

（2） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

六、教学设计说明

在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.

《直线方程》复习案

直线方程教学设计

直线与方程教学设计

直线与方程教学反思

直线点斜式方程教学设计

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