相加或相减的无穷小量进行等价替换的充分条件
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摘 要： 等价无穷小量替换求极限是算法处理中的关键。以往研究只给出了对所求极限式中相乘或相除的无穷小量因式进行等价替换的充分条件，而忽视了极限式中存在相加或相减的无穷小量因式的情形。对此进行深入研究，表明：1）若两个无穷小量商的极限存在且不为-1或者为无穷大，则两者相加或相减时可以进行等价替换;2）若两个无穷小量保持同号，则两者相加或相减时可以进行等价替换;3）若存在子列使得两个无穷小量之和或之差为零，则两者相加或相减时不一定可以进行等价替换。
关键词： 等价无穷小量;等价替换;极限;充分条件
中图分类号：O22 文献标识码：A 文章编号：2095-8412 （2019） 03-091-04
引言
算法、运算、评估方法、学习系统等数学学科的深度研究和发展，对智能技术、数据精准统计等一直起着重要的作用。例如，在图像处理[1， 2]、机器学习[3， 4]、最优化方法[5]、OFDM系统信道估计[6]、自动化系统设计[7]、复杂系统建模[8， 9]等工程问题中，无一例外地需要数学基础的支撑。
在工程数学中，经常需要处理一些无穷小量，其中会涉及等价无穷小量的替换。等价无穷小量替换是求极限的一种重要方法，而等价无穷小量替换求极限是算法处理中的关键。文献[10-15]均只给出了对所求极限式中相乘或相除的无穷小量因式进行等价替换的充分条件，而并未对极限式中存在相加或相减的无穷小量因式的情形进行深入探讨。本文对极限式中相加或相减的无穷小量能够或不能进行等价替换的充分条件进行研究，以增强等价无穷小量替换理论的完备性。值得注意的是，由于无穷小量之差也可以转化成无穷小量之和的形式，因此只需要讨论无穷小量之和的等价替换。
1 无穷小量相关定义
首先给出无穷小量的2个基本定义。
定义1 设在的某去心邻域内有定义。若，则当时，称为无穷小量。
定义2 设当时，均为无穷小量。若，则当时，称为的高阶无穷小量，记作;若，则当时，称与是等价无穷小量，记作。
接下来，对无穷小量进行等价替换的充分条件进行深入探讨，并给出相加或相减的無穷小量能够进行等价替换的充分条件。
4 结语
本文对极限式中相加的无穷小量能够或不能进行等价替换的充分条件进行了研究。由于可以写成，因此本文所述内容可以直接应用到相减的无穷小量的情形。本文给出的充分条件易于判断，是对文献[10-15]中关于无穷小量等价替换的内容的补充和深化。
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作者简介：
吴昌健（1982-），男，广东茂名人，硕士，就职于华南农业大学珠江学院。主要研究方向：非线性分析。
E-mail： 156283039@qq.com
（收稿日期：2019-03-30）
Abstract： Finding the limit by the equivalent infinitesimal variable substitution is the key to the algorithm processing. Previous studies only gave sufficient conditions for the equivalent substitution of multiplications or divisions of infinitesimal variables in the limit formulas， but neglected the cases of sums or subtractions of infinitesimal variables in the limit formulas. A thorough study is carried out， showing that： 1） If the limits of two infinitesimal variables exist and are neither -1， or they are both infinities， equivalent substitution can be carried out when they are added or subtracted; 2） If the two infinitesimal variables remain the same sign， equivalent substitution can be carried out when they are added or subtracted; 3） If there are subsequences that make the sum or subtraction of two infinitesimal variables be zero， they do not necessarily allow for equivalent substitution when they are added or subtracted.
Key words： Equivalent Infinitesimal Variable; Equivalent Substitution; Limit; Sufficient Condition