高考模拟试卷(六)
高考模拟试卷( 六) (时间：120 分钟 满分：160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1．设集合 M＝{x|x≥2}，N＝{x|x 2 －25＜0}，则 M∩N＝____________. 答案 [2,5) 解析 由题意得，x 2 －25＜0⇒－5＜x＜5，则 M∩N＝[2,5)． 2．复数2＋i1－2i 的共轭复数的虚部是____________． 答案 －1 解析 由题意得2＋i1－2i ＝2＋i1＋2i1－2i1＋2i ＝5i5 ＝i，所以其共轭复数的虚部为－1. 3．已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有________辆．
答案 80 解析 时速在[60,70)的频率为 10×0.04＝0.4，因为共有 200 辆汽车，则时速在[60,70)的汽车大约有 200×0.4＝80(辆)． 4．已知伪代码如下，则输出结果 S＝________. I←0 S←0 While I＜6
I←I＋2
S←S＋I 2
End While Print S
答案 56 解析 本题的算法语句是循环语句，I 可取 2,4,6.故运行后输出的 S＝2 2 ＋4 2 ＋6 2 ＝56.
5．在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin B＝ 3b，则 cos 3π2－A ＝________. 答案 －32 解析 由正弦定理根据边化角可得， 2sin Asin B＝ 3sin B⇒sin A＝32⇒A＝ π3 ， 所以 cos 3π2－A ＝－sin A＝－32. 6．已知函数 f(x)＝x 3 ＋3mx 2 ＋nx＋m 2 在 x＝－1 时有极值 0，则 m＋n＝________. 答案 11 解析 因为 f(x)＝x 3 ＋3mx 2 ＋nx＋m 2 ， 所以 f′(x)＝3x 2 ＋6mx＋n， 所以 f－1＝0，f′－1＝0⇒ －1＋3m－n＋m 2 ＝0，3－6m＋n＝0， 解得 m＝2，n＝9或 m＝1，n＝3. 当 m＝1，n＝3 时，函数 f(x)＝x 3 ＋3x 2 ＋3x＋1， 则 f′(x)＝3x 2 ＋6x＋3＝3(x＋1) 2 ≥0， 函数在 R 上单调递增，函数无极值，所以 m＋n＝11. 7．已知实数 x，y 满足 x 2 －xy＋y 2 ＝1，则 x＋y 的最大值为__________． 答案 2 解析 原式可化为(x＋y) 2 ＝1＋3xy≤1＋3 x＋y22 ， 解得－2≤x＋y≤2，当且仅当 x＝y 时等号成立． 8．等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝ 12 ·3n ＋ 1 ＋c(c 为常数)，若 λan ≤3＋S 2n 恒成立，则实数 λ 的最大值是__________． 答案 5 解析 由题意可知，c＝－ 32 且 a n ＝3n ， 可得 λ≤3＋ 12 ·32n ＋ 1 － 323 n， 化简为 λ≤ 32 3 n ＋13 n， 由于基本不等式等号不成立，
所以由对勾函数可知， 当 n＝1 时， λ max ＝5. 9．已知公差不为 0 的等差数列{a n }满足 a 1 ，a 3 ，a 4 成等比数列，S n 为数列{a n }的前 n 项和，则 S 3 －S 2S 5 －S 3 ＝____________. 答案 2 解析 设等差数列的公差为 d，首项为 a 1 ， 所以 a 3 ＝a 1 ＋2d，a 4 ＝a 1 ＋3d. 因为 a 1 ，a 3 ，a 4 成等比数列， 所以(a 1 ＋2d) 2 ＝a 1 (a 1 ＋3d)， 解得 a 1 ＝－4d. 所以 S 3 －S 2S 5 －S 3 ＝a 1 ＋2d2a 1 ＋7d ＝2. 10．已知函数 f(x)＝x 3 ＋3x(x∈R)，若不等式 f(2m＋mt 2 )＋f(4t)＜0 对任意实数 t≥1 恒成立，则实数 m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－ 2) 解析 由题意得，f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数且 f(x)在 R 上单调递增，因为不等式 f(2m＋mt 2 )＋f(4t)＜0 对任意实数 t≥1 恒成立，所以 2m＋mt 2 ＜－4t 在 t≥1 时恒成立，分离参数 m＜－4tt 2 ＋2 ＝－4t＋ 2t，又因为 t＋ 2t ≥2 2(当且仅当 t＝ 2时取等号)， 所以 m＜－ 2. 11．在△ABC 中，A＝ π3 ，b＋c＝4，E，F 为边 BC 的三等分点，则AE→ ·AF → 的最小值为__________． 答案 269 解析 AE→ ·AF → ＝23 AB→ ＋ 13 AC→·13 AB→ ＋ 23 AC→ ＝ 29 () AB→ 2 ＋AC → 2＋ 59 AB→ ·AC →
＝ 29 (c2 ＋b 2 )＋ 59 bc×12
＝ 29 (b＋c)2 － 16 bc≥29 (b＋c)2 － 16 ×b＋c 24＝ 269(当且仅当 b＝c＝2 时等号成立)， 即AE→ ·AF → 的最小值为 269. 12．若圆 x 2 ＋y 2 －3x－4y－5＝0 关于直线 ax－by＝0(a＞0，b＞0)对称，则双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1的离心率为________．
答案 54
解析 若圆 x 2 ＋y 2 －3x－4y－5＝0 关于直线 ax－by＝0 对称，则圆心 32 ，2 在直线 ax－by＝0上，所以 32 a－2b＝0，即ba ＝34 ，所以双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1 的离心率 e＝a 2 ＋b 2a 2＝ 1＋ ba2 ＝ 54 . 13．已知函数 f(x)＝|xe x |(注：e 是自然对数的底数)，方程 f 2 (x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个实数根，则 t 的取值范围为______________． 答案 －∞，－ e2 ＋1e 解析 当 x＞0 时，f(x)＝xe x ，则 f′(x)＝e x (x＋1)＞0， 所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当 x＜0 时，f(x)＝－xe x ， 则 f′(x)＝e x (－1－x)， 所以 f(x)在(－∞，－1)上单调递增，(－1,0)上单调递减， 综上，f(x)的函数图象大致如图所示，
从而由题意可知， 关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋tx＋1＝0 的两根 x 1 ，x 2 只需满足 0＜x 1 ＜ 1e ＜x 2 ， 则 1e2 ＋t·1e ＋1＜0⇒t＜－e 2 ＋1e， 即实数 t 的取值范围是 －∞，－ e2 ＋1e. 14．已知函数 f(x)＝ 2－|x|，x≤2，x－2 2 ，x＞2，函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R.若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是________． 答案 74 ，2 解析 由 f(x)＝ 2－|x|，x≤2，x－2 2 ，x＞2，
得 f(2－x)＝ 2－|2－x|，x≥0，x 2 ，x＜0. 所以 f(x)＋f(2－x)＝ 2－|x|＋x 2 ，x＜0，4－|x|－|2－x|，0≤x≤2，2－|2－x|＋x－2 2 ，x＞2， 即 f(x)＋f(2－x)＝ x 2 ＋x＋2，x＜0，2，0≤x≤2，x 2 －5x＋8，x＞2. y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－b，所以 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点等价于方程 f(x)＋f(2－x)－b＝0 有 4 个不同的解，即函数 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有 4 个公共点，由图象知 74 ＜b＜2. 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分) 15．(14 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos B＝(3c－b)cos A. (1)若 asin B＝2 2，求 b； (2)若 a＝2 2，且△ABC 的面积为 2，求△ABC 的周长． 解 (1)∵acos B＝(3c－b)cos A， ∴sin Acos B＝3sin Ccos A－sin Bcos A， 即 sin Acos B＋sin Bcos A＝sin C＝3sin Ccos A， ∵sin C≠0，∴cos A＝ 13 ，则 sin A＝2 23， ∵asin B＝2 2，∴b＝ asin Bsin A＝3. (2)∵△ABC 的面积为 2， ∴23bc＝ 2，得 bc＝3. ∵a＝2 2，∴b 2 ＋c 2 － 23 bc＝8， ∴(b＋c) 2 － 83 bc＝8， 即(b＋c) 2 ＝16， ∵b＞0，c＞0，∴b＋c＝4， ∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝4＋2 2. 16. (14 分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是菱形，且 AD＝AA 1 ，点 F为棱 BB 1 的中点，点 M 为线段 AC 1 的中点．
求证：(1)MF∥平面 ABCD； (2)平面 AFC 1 ⊥平面 ACC 1 A 1 . 证明 (1)如图，延长 C 1 F 交 CB 的延长线于点 N，连结 AN.
∵F 是 BB 1 的中点， ∴F 为 C 1 N 的中点，B 为 CN 的中点． 又 M 是线段 AC 1 的中点， ∴MF∥AN.又 MF⊄平面 ABCD，AN⊂平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD， (2)连结 BD，由题意知 A 1 A⊥平面 ABCD， ∵BD⊂平面 ABCD，∴A 1 A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1 A＝A，AC⊂平面 ACC 1 A 1 ，A 1 A⊂平面 ACC 1 A 1 ， ∴BD⊥平面 ACC 1 A 1 . 在四边形 DANB 中，DA∥BN，且 DA＝BN， ∴四边形 DANB 为平行四边形， ∴NA∥BD，∴NA⊥平面 ACC 1 A 1 . 又∵NA⊂平面 AFC 1 ， ∴平面 AFC 1 ⊥平面 ACC 1 A 1 . 17．(14 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 A(－1,0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MP⊥MH，求实数 t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝ 3. ∴所求椭圆 E 的标准方程为 x24 ＋y 23 ＝1.
(2)设 M(x 0 ，y 0 )(x 0 ≠±2)，则 x204 ＋y 2 03 ＝1.① MP→＝(t－x 0 ，－y 0 )，MH→＝(2－x 0 ，－y 0 )， 由 MP⊥MH 可得MP→·MH→＝0， 即(t－x 0 )(2－x 0 )＋y 2 0 ＝0.② 由①②消去 y 0 ， 整理得 t(2－x 0 )＝－ 14 x20 ＋2x 0 －3. ∵x 0 ≠2，∴t＝ 14 x 0 －32 . ∵－2＜x 0 ＜2，∴－2＜t＜－1. ∴实数 t 的取值范围为(－2，－1)． 18．(16 分)如图所示，A，B 是两个垃圾中转站，B 在 A 的正东方向 16 km 处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P.垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求(A，B，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大)．现估测得 A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？
解 方法一 由条件①，得 PAPB ＝5030 ＝53 . 设 PA＝5x，PB＝3x， 则 cos∠PAB＝ 5x2 ＋16 2 －3x 22×16×5x＝x10 ＋85x ， 所以点 P 到直线 AB 的距离 h＝PAsin∠PAB＝5x 1－ x10 ＋85x2
＝ － 14 x4 ＋17x 2 －64 ＝ － 14 x2 －34 2 ＋225， 所以当 x 2 ＝34，即 x＝ 34时，h 取得最大值 15 km. 即选址应满足 PA＝5 34 km，PB＝3 34 km. 方法二 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(－8,0)，B(8,0)． 由条件①，得 PAPB ＝5030 ＝53 . 设 P(x，y)(y>0)， 则 3 x＋8 2 ＋y 2 ＝5 x－8 2 ＋y 2 ， 化简得(x－17) 2 ＋y 2 ＝15 2 (y>0)， 即点 P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15 为半径的圆位于 x 轴上方的部分． 则当 x＝17 时，点 P 到直线 AB 的距离最大，最大值为 15 km. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可． 方法三 由条件①，得 PAPB ＝5030 ＝53 . 过点 P 作 PD 垂直于 AB， 设 PD＝h，AD＝x， 则 DB＝|16－x|， 3 x 2 ＋h 2 ＝5 h 2 ＋16－x 2 ， h 2 ＝－(x－25) 2 ＋225. 所以当 x＝25 时，h 取得最大值 15. 答 选址应满足 PA＝5 34 km，PB＝3 34 km. 19．(16 分)已知各项均为正数的等差数列{a n }满足：a 4 ＝2a 2 ，且 a 1, 4，a 4 成等比数列，设{a n }的前 n 项和为 S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列 S nn·2 n的前 n 项和为 T n ，求证：T n ＜3. (1)解 根据题意，在等差数列{a n }中， 设公差为 d，a 4 ＝2a 2 ，且 a 1, 4，a 4 成等比数列，a 1 ＞0， 即 a 1 ＋3d＝2a 1 ＋d，a 1 ·a 1 ＋3d＝16，解得 a 1 ＝2，d＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1 ＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n(n∈N * )． (2)证明 由(1)知，a 1 ＝d＝2， 则 S n ＝2n＋ nn－12×2＝n 2 ＋n， ∴S nn·2 n ＝n＋12 n.
∴T n ＝22 1 ＋32 2 ＋42 3 ＋…＋n＋12 n，(*) 12 T n ＝22 2 ＋32 3 ＋…＋n2 n ＋n＋12 n＋ 1 ，(**) 两式相减得 12 T n ＝22 1 ＋12 2 ＋12 3 ＋…＋12 n －n＋12 n＋ 1 ， ∴T n ＝2＋12 1 ＋12 2 ＋…＋12 n－ 1 － n＋12 n ＝2＋12 1－12 n－ 11－ 12－ n＋12 n ＝3－12 n－ 1 － n＋12 n＜3. ∴T n ＜3. 20．(16 分)函数 f(x)＝ln x－ 12 ax2 －2x. (1)当 a＝3 时，求 f(x)的单调区间； (2)若∀a∈(－1，＋∞)，∃x∈(1，e)，有 f(x)－b＜0，求实数 b 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝－ 3x2 ＋2x－1x(x>0)， 当 x∈ 0， 13时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x∈ 13 ，＋∞ 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以，f(x)的单调增区间为 0， 13，单调减区间为 13 ，＋∞ . (2)首先，对于任意 a∈(－1，＋∞)，ln x－ 12 ax2 －2x＜b 恒成立，则 b＞ ln x－ 12 ax2 －2xmax . 因为函数 h(a)＝ln x－ 12 ax2 －2x＝－ 12 ax2 －2x＋ln x 在(－1，＋∞)上是减函数， 所以 h(a)＜h(－1)＝ 12 x2 －2x＋ln x， 所以 b≥ 12 x2 －2x＋ln x. 其次，∃x∈(1，e)，使不等式 b≥ 12 x2 －2x＋ln x 成立， 于是 b≥ 12 x2 －2x＋ln xmin ， 令 g(x)＝ 12 x2 －2x＋ln x，
则 g′(x)＝x－2＋ 1x ＝x－1 2x≥0， 所以函数 g(x)在(1，e)上是增函数， 于是 g(x) min ＝g(1)＝－ 32 ， 故 b>－ 32 ， 即 b 的取值范围是 － 32 ，＋∞ .