统计学课后答案第七八章

　6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为  盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 1.0   盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的 9 个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过 0.3 盎司的概率。

　解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从 2, Nn 的正态分布，由正态分布，标准化得到标准正态分布：z=xn～   0,1 N ，因此，样本均值不超过总体均值的概率 P为：

　 0.3 P x    =0.3 xPn n     =0.3 0.31 9 1 9xPn      =   0.9 0.9 P z    =2   0.9  -1，查标准正态分布表得   0.9  =0.8159 因此，   0.3 P x    =0.6318 6.2 在练习题 6.1 中，我们希望样本均值与总体均值  的偏差在 0.3 盎司之内的概率达到 0.95，应当抽取多大的样本？ 解：

　  0.3 P x    =0.3 xPn n     =0.3 0.31 1xPn n n      = 2 (0.3 ) 1 0.95 n    (0.3 ) 0.975 n   

　6.3 1Z ，2Z ，……，6Z 表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6 的一个样本，试确定常数 b，使得 解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：

　设 Z 1 ， Z 2 ，……， Z n 是来自总体 N (0,1)的样本，则统计量 服从自由度为 n 的 χ 2 分布，记为 χ 2～ χ 2 （n）

　因此，令62 21iiZ   ，则  62 2 216iiZ    ，那么由概率6210.95iiP Z b    ，可知：

　b=  21 0.956 ，查概率表得：b=12.59 6.4 在习题 6.1 中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差21   的标准正态分布。假定我们计划随机抽取 10 个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到 10 个观测值，用这 10 个观测值我们可以求出样本方差2 2 211( ( ) )1niiS S Y Yn ，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证 S 2 落入其中是有用的，试求 b 1 ，b 2 ，使得 解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：

　此处，n=10，21   ，所以统计量 根据卡方分布的可知：

　又因为：

　因此：

　则：

　查概率表：

　 20.959  =3.325，  20.059  =19.919，则  20.95199b =0.369， 20.05299b =1.88 7.1 从一个标准差为 5 的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为 40 的样本，样本均值为 25。

　（1）样本均值的抽样标准差等于多少 （2）在 95%的置信水平下，估计误差是多少？ 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。

　(1)假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差。

　xn 1549 =2.143 (2)在 95％的置信水平下，求边际误差。

　x xt     ，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度 t=2z 

　 因此，x xt    2 xz    0.025 xz    =1.96×2.143=4.2 (3)如果样本均值为 120 元，求总体均值 的 95％的置信区间。

　 置信区间为：

　  ,x xx x   =   120 4.2,120 4.2   =（115.8，124.2）

　7.4 从总体中抽取一个 n=100 的简单随机样本,得到 x =81，s=12。

　要求：

　大样本，样本均值服从正态分布：2, x Nn   或2,sx Nn    置信区间为：2 2,s sx z x zn n       ，sn=12100=1.2 (1)构建  的 90％的置信区间。

　2z  =0.05z =1.645，置信区间为：

　  81 1.645 1.2,81 1.645 1.2     =（79.03，82.97）

　(2)构建  的 95％的置信区间。

　2z  =0.025z =1.96，置信区间为：

　  81 1.96 1.2,81 1.96 1.2     =（78.65，83.35）

　(3)构建  的 99％的置信区间。

　2z  =0.005z =2.576，置信区间为：

　  81 2.576 1.2,81 2.576 1.2     =（77.91，84.09）

　7.5 利用下面信息，构造总体均值的置信区间。

　（1）

　25 3.5 60 1 95% x n       

　（2）

　119.6 23.89 75 1 98% x s n      

　（3）

　3.419 0.974 32 1 90% x s n      

　7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

　（1）总体服从正态分布，且已知 8900 500 15 1 95% x n       

　（2）总体不服从正态分布，且已知 8900 500 35 1 95% x n       

　（3）总体不服从正态分布，σ未知， 8900 500 35 1 90% x s n      

　（4）总体服从正态分布，σ未知， 8900 500 35 1 99% x n       

　7.7

　某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7 500 名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：

　3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90％，95％和 99％。

　解：

　（1）样本均值 x =3.32，样本标准差 s=1.61； （2）抽样平均误差：

　 重复抽样：x =n sn =1.61/6=0.268

　 不重复抽样：x =1N nN n  1s N nN n =1.61 7500 367500 1 36 =0.268× 0.995 =0.268×0.998=0.267 （3）置信水平下的概率度：

　1   =0.9，t=2z  =0.05z =1.645

　1   =0.95，t=2z  =0.025z =1.96

　1   =0.99，t=2z  =0.005z =2.576 （4）边际误差（极限误差）：

　1   =0.9，2 x x xt z         =0.05 xz  

　重复抽样：2 x xz      =0.05 xz   =1.645×0.268=0.441

　不重复抽样：2 x xz      =0.05 xz   =1.645×0.267=0.439

　1   =0.95，2 x x xt z         =0.025 xz  

　重复抽样：2 x xz      =0.025 xz   =1.96×0.268=0.525 不重复抽样：2 x xz      =0.025 xz   =1.96×0.267=0.523

　1   =0.99，2 x x xt z         =0.005 xz  

　重复抽样：2 x xz      =0.005 xz   =2.576×0.268=0.69 不重复抽样：2 x xz      =0.005 xz   =2.576×0.267=0.688 （5）置信区间：

　1   =0.9， 重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.441,3.32 0.441   =（2.88，3.76）

　不重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.439,3.32 0.439   =（2.88，3.76）

　1   =0.95，

　重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.525,3.32 0.525   =（2.79，3.85）

　不重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.441,3.32 0.441   =（2.80，3.84）

　1   =0.99，

　重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.69,3.32 0.69   =（2.63，4.01）

　不重复抽样：

　  ,x xx x   =   3.32 0.688,3.32 0.688   =（2.63，4.01）

　7.8 从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为 8 的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。求总体均值的 95%的置信区间。

　解：210, 12, 3.4641 x s s   

　7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：

　 10

　3

　14

　8

　6

　9

　12

　11

　7

　5

　10

　15

　9

　16

　13

　2

　假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的 95％的置信区间。

　解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量 均值=9.375，样本标准差 s=4.11 置信区间：

　1   =0.95，n=16，  21 t n =  0.02515 t =2.13 =4.11 4.119.375 2.13 ,9.375 2.1316 16      =（7.18，11.57）

　7.10 从一批零件中随机抽取 36 个，测得其平均长度为 149.5，标准差为 1.93 （1）试确定该种零件平均长度的 95%的置信区间 或者2 0.0251.93149.5 149.5 0.63045536sx z zn      

　7．11

　某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下：

　每包重量（g）

　包数 96~98 98~100 100~102 102~104 104~106 2 3 34 7 4 合计 50

　 已知食品包重量服从正态分布，要求：

　 (1)确定该种食品平均重量的 95％的置信区间。

　解：大样本，总体方差未知，用 z 统计量 样本均值=101.4，样本标准差 s=1.829

　置信区间：

　1   =0.95，2z  =0.025z =1.96 =1.829 1.829101.4 1.96 ,101.4 1.9650 50      =（100.89，101.91）

　(2)如果规定食品重量低于 l00g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95％的置信区间。

　解：总体比率的估计 大样本，总体方差未知，用 z 统计量 样本比率=（50-5）/50=0.9 置信区间：

　1   =0.95，2z  =0.025z =1.96 =    0.9 1 0.9 0.9 1 0.90.9 1.96 ,0.9 1.9650 50         =（0.8168，0.9832）

　7．13

　一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时)：

　6 3 21 8 17 12 20 11 7 9 0 21 8 25 16 15 29 16 假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。

　解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量 均值=13.56，样本标准差 s=7.801 置信区间：

　1   =0.90，n=18，  21 t n =  0.0517 t =1.7369 =7.801 7.80113.56 1.7369 ,13.56 1.736918 18      =（10.36，16.75）

　7．15

　在一项家电市场调查中．随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23％。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。

　解：总体比率的估计 大样本，总体方差未知，用 z 统计量 样本比率=0.23 置信区间：

　1   =0.90，2z  =0.025z =1.645 =    0.23 1 0.23 0.23 1 0.230.23 1.645 ,0.23 1.645200 200          =（0.1811，0.2789）

　1   =0.95，2z  =0.025z =1.96 =    0.23 1 0.23 0.23 1 0.230.23 1.96 ,0.23 1.96200 200         =（0.1717，0.2883）

　7.16 一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款额的标准差为 1000 元，要求估计误差在 200 元一位，置信水平为 99%，则应选取多大的样本？ 解：2 22 2/2 0.0052 21000165.87200an z zE  

　7.17 计算下列条件下所需要的样本量 （1）

　0.02 0.4 1 96% E      

　 （2）

　0.04 1 9 % E 5      未知

　 （3）

　0.05 0.55 1 90% E      

　 7．20

　顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有

　关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下：

　方式 1 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7 方式 2 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9.3 10

　 要求：

　(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的 95％的置信区间。

　解：估计统计量 经计算得样本标准差22s =3.318 置信区间：

　1   =0.95，n=10，  221 n  =  20.0259  =19.02，  21 21 n =  20.9759  =2.7     2 22 22 1 21 1,1 1n S n Sn n        =9 0.2272 9 0.2272,19.02 2.7     =（0.1075，0.7574）

　因此，标准差的置信区间为（0.3279，0.8703）

　(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的 95％的置信区间。

　解：估计统计量 经计算得样本标准差21s =0.2272 置信区间：

　1   =0.95，n=10，  221 n  =  20.0259  =19.02，  21 21 n =  20.9759  =2.7     2 22 22 1 21 1,1 1n S n Sn n        =9 3.318 9 3.318,19.02 2.7     =（1.57，11.06）

　因此，标准差的置信区间为（1.25，3.33）

　(3)根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好?

　第一种方式好，标准差小！

　7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示：

　来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本 样本均值为 25 样本均值为 23 样本方差为 16 样本方差为 20 2 221 1 2 21 2( 1) ( 1) 131( 1) ( 1) 7pn S n SSn n     =18.71429 7．23

　下表是由 4 对观察值组成的随机样本。

　配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本 1 2 3 4 2 5 10 8 0 7 6 5 (1)计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算 d 和ds 。

　 d =1.75，ds =2.62996 (2)设1 2  和 分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造1 2 d     的 95％的置信区间。

　解：小样本，配对样本，总体方差未知，用 t 统计量 均值=1.75，样本标准差 s=2.62996 置信区间：

　1   =0.95，n=4，  21 t n =  0.0253 t =3.182 =2.62996 2.629961.75 3.182 ,1.75 3.1824 4      =（-2.43，5.93）

　7.24 一家人才测评机构对随机抽取的 10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，

　得到的自信心测试分数如下：

　人员编号

　方法 1 1

　方法 2 2

　1 78 71 2 63 44 3 72 61 4 89 84 5 91 74 6 49 51 7 68 55 8 76 60 9 85 77 10 55 39 构建两种方法平均自信心的分之差的 95%的置信区间 解：

　d =11，ds =6.531973 7．25

　从两个总体中各抽取一个1 2n n  ＝250 的独立随机样本，来自总体 1 的样本比例为1p ＝40％，来自总体 2 的样本比例为2p ＝30％。要求：

　(1)构造1 2   的 90％的置信区间。

　(2)构造1 2   的 95％的置信区间。

　解：总体比率差的估计 大样本，总体方差未知，用 z 统计量 样本比率 p1=0.4，p2=0.3 置信区间：

　1   =0.90，2z  =0.025z =1.645

　=        0.4 1 0.4 0.3 1 0.3 0.4 1 0.4 0.3 1 0.30.1 1.645 ,0.1 1.645250 250 250 250              =（3.02%，16.98%）

　1   =0.95，2z  =0.025z =1.96 =        0.4 1 0.4 0.3 1 0.3 0.4 1 0.4 0.3 1 0.30.1 1.96 ,0.1 1.96250 250 250 250              =（1.68%，18.32%）

　7.26

　生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(单位：g)的数据：

　机器 1 机器 2 3.45 3.22 3.9 3.22 3.28 3.35 3.2 2.98 3.7 3.38 3.19 3.3 3.22 3.75 3.28 3.3 3.2 3.05 3.5 3.38 3.35 3.3 3.29 3.33 2.95 3.45 3.2 3.34 3.35 3.27 3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.28 3.2 3.18 3.25 3.3 3.34 3.25 要求：构造两个总体方差比21 /22 的 95％的置信区间。

　解：统计量：

　置信区间：

　21s =0.058，22s =0.006 n1=n2=21

　1   =0.95，  2 1 21, 1 F n n  =  0.02520,20 F =2.4645，  1 2 1 21, 1 F n n   = 2 2 111, 1 F n n   1 2 1 21, 1 F n n   =  0.97520,20 F = 0.025120,20 F=0.4058    2 21 12 22 22 1 2 1 2 1 2,1, 1 1, 1s ss sF n n F n n           =（4.05，24.6）

　7．27

　根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2％。如果要求 95％的置信区间，若要求边际误差不超过 4％，应抽取多大的样本? 解： 21pzp pn

　1   =0.95，2z  =0.025z =1.96  2221pz p pn  =221.96 0.02 0.980.04 =47.06，取 n=48 或者 50。

　7．28

　某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为 120 元，现要求以 95％的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过 20 元，应抽取多少个顾客作为样本? 解：2 222xzn ， 1   =0.95，2z  =0.025z =1.96，

　 2 222xzn 2 221.96 12020 =138.3，取 n=139 或者 140，或者 150。

　7．29

　假定两个总体的标准差分别为：112   ，215   ，若要求误差范围不超过 5，相应的置信水平为 95％，假定1 2n n  ，估计两个总体均值之差1 2   时所需的样本量为多大?

　解：n1=n2= 1 22 2 22 1 22x xzn  ， 1   =0.95，2z  =0.025z =1.96，

　 n1=n2= 1 22 2 22 1 22x xzn  =  2 2 221.96 12 155 =56.7，取 n=58，或者 60。

　7．30

　假定1 2n n  ，边际误差 E＝0．05，相应的置信水平为 95％，估计两个总体比例之差1 2   时所需的样本量为多大? 解 ：

　n1=n2=   1 222 1 1 2 221 1p pz p p p pn      ， 1   =0.95 ，2z  =0.025z =1.96 ， 取p1=p2=0.5，

　 n1=n2=   1 222 1 1 2 221 1p pz p p p pn      =  2 2 221.96 0.5 0.50.05 =768.3，取 n=769，或者 780 或 800。

　8.1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布 N（4.55，0.108 2 ）,现在测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（显着性水平为 0.05）？ 解：

　H 0 ：

　μ =4.55； H 1 ：

　μ ≠4.55 已知：

　x ＝4.484

　  ＝0.108 ，n=9 检验统计量：

　0xzs n  ＝4.484 4.550.108 9＝-1.833 当 α ＝0.05，查表得/2z  ＝1.96。因为 z>-/2z  ，故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁水平平均含碳量为 4.55。

　8．2

　一种元件，要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36件，测得其平均寿命为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布，  ＝60 小时，试在显着性水平 0．05 下确定这批元件是否合格。

　解：

　H 0 ：

　μ ≥700； H 1 ：

　μ ＜700 已知：

　x ＝680

　  ＝60 由于 n=36＞30，大样本，因此检验统计量：

　0xzn ＝680 70060 36＝-2 当 α ＝0.05，查表得 z  ＝1.645。因为 z＜- z  ，故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批产品不合格。

　8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产 250kg，其标准差为 30kg。现用一种化肥进行试验，从 25 个小区进行抽样，其平均产量为 270kg。这种化肥是否使小麦明显增产（ α ＝0.05）？ 解：

　H 0 ：

　μ ≤250； H 1 ：

　μ ＞0.05 已知：

　x ＝270

　  ＝30， n=25 0xzn ＝270 25030 25＝3.33 当 α ＝0.05，查表得/2z  ＝1.96。因为 z>/2z  ，故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显增长。

　8．4

　糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是 100 千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得 9 包重量(单位：千克)如下：

　 99．3

　98．7

　100．5

　101．2

　98．3

　99．7

　99．5

　102．1

　100．5 已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常(a＝0．05)? 解：

　H 0 ：

　μ ＝100； H 1 ：

　μ ≠100 经计算得：

　x ＝99.9778

　 S＝1.21221 检验统计量：

　0xts n  ＝99.9778 1001.21221 9＝-0.055 当 α ＝0.05，自由度 n －1＝9 时，查表得  29 t  ＝2.262。因为 t ＜2t  ，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。

　8．5

　某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于 250 克。今从一批该食品中任意抽取50 袋，发现有 6 袋低于 250 克。若规定不符合标准的比例超过 5％就不得出厂，问该批食品能否出厂(a＝0．05)? 解：

　H 0 ：

　π ≤0.05； H 1 ：

　π ＞0.05 已知：

　p ＝6/50=0.12

　检验统计量：

　 00 01pZn ＝ 0.12 0.050.05 1 0.0550 ＝2.271 当 α ＝0.05，查表得 z  ＝1.645。因为 z ＞ z  ，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，接受备择假设，说明该批食品不能出厂。

　8.6 某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平25000km。对一个由 15 个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准差分别为 27000km 和 5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（а=0.05）？ 解：

　H 0 ：

　μ ≤25000； H 1 ：

　μ >25000 经计算得：

　x ＝27000

　 S＝5000 检验统计量：

　0xts n  ＝27000 250005000 15＝1.549 当 α ＝0.05，自由度 n －1＝14 时，查表得   14 t  ＝1.76131。因为 t> t  ，样本统计量落

　在拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。

　8．7

　某种电子元件的寿命 x(单位：小时)服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下：

　 159

　280

　101

　212

　224

　379

　179

　264

　 222

　362

　168

　250

　149

　260

　485

　170

　 问是否有理由认为元件的平均寿命显着地大于 225 小时(a＝0．05)? 解：

　H 0 ：

　μ ≤225； H 1 ：

　μ ＞225 经计算知：

　x ＝241.5

　 s＝98.726 检验统计量：

　0xts n  ＝241.5 22598.726 16＝0.669 当 α ＝0.05，自由度 n －1＝15 时，查表得   15 t  ＝1.753。因为 t＜ t  ，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显着大于 225 小时。

　8.8 随机抽取 9 个单位，测得结果分别为为：85

　59

　66

　81

　35

　57

　55

　63

　66 以 α ＝0.05 的显着性水平对下述假设进行检验：

　H 0 ：

　σ 2 ≤100； H 1 ：

　σ 2 ＞100 解：22 20.0520( 1) 8 215.7517.26 (8) 15.50731100n S      

　所以拒绝原假设，即方差显着大于 100 8.9

　A，B 两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且2 2 2 263 57A B    ，从 A 厂生产的材料中随机抽取 81 个样本，测得21070 /Ax kg cm  ；从 B 长生产的材料中随机抽取 64 个样品，测得21020 /Bx kg cm  。根据以上调查结果，能否认为 A，B 两厂生产的材料平均抗压强度相同（а=0.05）？ 解：0 1: 0 : 0A B A BH H        

　0.0252 2 2 21070 10205.00587 1.966381 6457ABABABx xz zn n      所以不能认为 A，B 两厂生产的材

　料平均抗压强度相同 8．10

　装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录各自的装配时间(单位：分钟)如下：

　 甲方法：31

　34

　29

　32

　35

　38

　34

　30

　29

　32

　31

　26

　 乙方法：26

　24

　28

　29

　30

　29

　32

　26

　31

　29

　32

　28 两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显着不同 (a＝0．05)? 解：建立假设 H 0 ：

　μ 1 － μ 2 =0

　H 1 ：

　μ 1 － μ 2 ≠0 总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量 根据样本数据计算，得1n ＝12，2n =12，1x ＝31.75，1s ＝3.19446，2x ＝28.6667，2s =2.46183。

　＝   2 212 1 0.92216 12 1 0.7106712 12 2     ＝8.1326  1 21 21 1px xtsn n＝2.648 α ＝0.05 时，临界点为  2 1 22 t n n  ＝  0.02522 t ＝2.074，此题中 t ＞2t  ，故拒绝原假设，认为两种方法的装配时间有显着差异。

　8．11

　调查了 339 名 50 岁以上的人，其中 205 名吸烟者中有 43 个患慢性气管炎，在134 名不吸烟者中有 13 人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点(a＝0．05)? 解：建立假设 H 0 ：

　π 1 ≤ π 2 ； H 1 ：

　π 1 ＞ π 2

　p 1 ＝43/205=0.2097

　n1=205

　 p 2 ＝13/134=0.097

　n2=134 检验统计量

　 ＝    0.2098 0.097 00.2098 1 0.2098 0.097 1 0.097205 134   ＝3 当 α ＝0.05，查表得 z  ＝1.645。因为 z ＞ z  ，拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。

　8．12

　为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款数额不能超过 60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下，贷款的平均规模是否明显地超过 60 万元，故一个 n=144 的随机样本被抽出，测得 x =68．1 万元，s=45。用 a＝0．01 的显着性水平，采用 p 值进行检验。

　解：

　H 0 ：

　μ ≤60； H 1 ：

　μ ＞60 已知：

　x ＝68.1

　 s=45 由于 n=144＞30，大样本，因此检验统计量：

　0xzs n  ＝68.1 6045 144＝2.16 由于 x ＞μ，因此 P 值=P（z≥2.16）=1-   2.16  ，查表的   2.16  =0.9846，P 值=0.0154 由于 P＞ α ＝0.01，故不能拒绝原假设，说明贷款的平均规模没有明显地超过 60 万元。

　8．13

　有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验证，研究人员把自愿参与实验的 22 000 人随机平均分成两组，一组人员每星期服用三次阿司匹林(样本 1)，另一组人员在相同的时间服用安慰剂(样本 2)持续 3 年之后进行检测，样本 1 中有 104 人患心脏病，样本 2 中有 189 人患心脏病。以 a＝0．05 的显着性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。

　解：建立假设 H 0 ：

　π 1 ≥ π 2 ； H 1 ：

　π 1 ＜ π 2 p 1 ＝ 104/11000=0.00945

　n1=11000

　 p 2 ＝ 189/11000=0.01718

　n2=11000 检验统计量

　 ＝    0.00945 0.01718 00.00945 1 0.00945 0.01718 1 0.0171811000 11000   ＝-5 当 α ＝0.05，查表得 z  ＝1.645。因为 z ＜- z  ，拒绝原假设，说明用阿司匹林可以降低心脏病发生率。

　8．15

　有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了 25 名男生和 16 名女生，对他们进行了同样题目的测试。测试结果表明，男生的平均成绩为 82 分，方差为 56 分，女生的平均成绩为 78 分，方差为 49 分。假设显着性水平 α=0．02，从上述数据中能得到什么结论? 解：首先进行方差是否相等的检验：

　建立假设 H 0 ：21 ＝22 ； H 1 ：21 ≠22

　n1=25，21s =56，n2=16，22s =49 2122sFs ＝5649＝1.143 当 α ＝0.02 时，  224,15 F  ＝3.294，  1 224,15 F ＝0.346。由于  1 224,15 F ＜ F＜  224,15 F  ，检验统计量的值落在接受域中，所以接受原假设，说明总体方差无显着差异。

　检验均值差：

　建立假设 H 0 ：

　μ 1 － μ 2 ≤0

　H 1 ：

　μ 1 － μ 2 ＞0 总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量 根据样本数据计算，得1n ＝25，2n =16，1x ＝82，21s =56，2x ＝78，22s =49    2 21 1 1 2 21 21 12pn s n ssn n   ＝53.308  1 21 21 1px xtsn n＝1.711 α ＝0.02 时，临界点为  1 22 t n n  ＝  0.0239 t ＝2.125，t＜ t  ，故不能拒绝原假设，不能认为大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。

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