应用统计辅导资料七

　应用统计辅导资料七

　主

　题：第二章

　随机变量及其分布 6-7 节 学习时间：2015 年 5 月 11 日－5 月 17 日 内

　容：

　这周我们将学习第二章随机变量及其分布 6-7 节，本周引入了随机变量分布函数的概念，重点讨论二维随机变量—两个随机变量联合在一起构成的二维随机向量。研究二维随机变量，不仅要单独研究其各个分量，更重要的是研究其分量的联合特征。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：

　1、理解随机变量的分布函数的概念及性质 2、了解二维随机变量及其多维随机变量的概念 3、了解二维随机变量的联合分布和性质 4、掌握计算二维随机变量的联合分布有关事件的概率的方法 5、掌握二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系，并会计算有关的分布 基本概念：随机变量的分布函数、二维随机变量及其多维随机变量的概念 知识点：离散型和连续性随机变量分布函数的求法、二维随机变量的联合分布和性质；二维随机变量的边缘分布和联合分布之间的关系 1、为方便理解，我们将主要概念及其性质总结如下：

　随机变量的分布函数 的 概念及其性质

　定义: :设 X 是任意一个随机变量，称函数 ) ( }, { ) (       x x X P x F 为随机变量 X 的分布函数。

　) (x F 的 性质：

　1）

　1 ) ( 0   x F

　2）

　) (x F 是 x 的单调不减函数 即 ) )( ( ) (2 1 2 1x x x F x F  

　3）

　0 ) ( lim ) (    x F Fx 1 ) ( lim ) (    x F Fx 至多有可列个间断点，且其间断点处右连续，对任何实数 x，有 ) ( ) 0 ( x F x F  

　注意：1) ) (x F 是实函数，其定义域是整个 数轴，故求 ) (x F 时，要就 x 落在整个数轴上讨论。

　) (x F 的值域是闭区间[0,1]。

　2）

　) ( } { b F b X P  

　3）由于 } {2 1x X x   = } {2x X  - } {1x X  ，故有 { P2 1x X x   } = } {2x X P  - } {1x X P 

　= ) (2x F - ) (1x F

　) ( 1 } { 1 } { a F a X P a X P      

　) 0 ( ) ( } {     a F a F a x P

　X X 为离散型

　X X 为连续型

　分布函数：设 X 为离散型随机变量，     , 2 , 1 }, { k x X P pk k 有      x xkx xkk kP x X P x X P x F } { } { ) (

　右边和式是根据 x 的不同取值，所有小于或等于 x 的kx 对应的kP 的和。

　分布函数：设 X 为连续型随机变量，概率密度为 ) (x f ，对任何实数 x，有    xdt t f x X P x F ) ( } { ) (

　在 ) (x f 的连续点 x 处，有 ) ( ) ( x F x f  

　注意：求离散型随机变量的分布函数有两种方法：

　方法 1：按定义 ) ( ), ( ) (       x x X P x F 直接求； 方法 2：先求分布列，然后利用       x xkx xkk kP x X P x X P x F } { } { ) (求。

　注意：由于连续型随机变量取某一数值时的概率为 0，有 { P2 1x X x   }= { P2 1x X x   } = { P2 1x X x   }= { P2 1x X x   } = ) (2x F - ) (1x F = 21) (xxdx x f

　 二维随机变量 的概率分布

　定义：以 n 个随机变量 , , ,3 2 1X X X …nX 为分量的向量 , , , (3 2 1X X X X  …nX ）为 n 维随机变量。

　n 元函数 , , , (3 2 1X X X F …3 3 2 2 1 1, , { ) x X x X x X P X n     … }n nx X  为 n 维随机变量 , , , (3 2 1X X X X  …nX ）的联合分布函数。

　当 n=2 时，则 ) , (2 1X X 为二维随机变量，联合分布函数为  ) , (2 1X X F } , {2 2 1 1x X x X P  

　联合分布函数的性质：

　(1) 1 ) , ( 0   y x F

　(2) ) , ( y x F 是 x (或 y )的不减函数且对任意固定的 x 和任意固定的 y 有 0 ) , ( ) , ( ) , (        F x F y F , 1 ) , (    F

　(3) ) , ( y x F 关 于 x 右 连 续 ， 关 于 y 右 连 续 ， 即 ) , 0 ( ) , ( y x F y x F   ，) 0 , ( ) , (   y x F y x F

　X (4)随机点落在矩形域：2 1 2 1, y Y y x X x     上的概率为 ), , ( ) , ( ) , ( ) , ( } , {1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P        

　且 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (1 1 2 1 1 2 2 2    y x F y x F y x F y x F （如下图）

　(X,Y) 为离散型

　(X,Y) 为连续型

　若（X,Y）的全部取值为有限个或至多可列个，则(X,Y)为离散型随机变量。

　记 , 2 , 1 , }, , {     j i y Y x X P Pj i ij…为 X和 Y 的联合概率分布，或（X,Y）的概率分布。

　（X,Y）的联合分布列为：

　Y

　1y 2yjy

　1x 2x . . . ix . . . 11p 12pjp 1

　21p 22pjp 2

　.

　 .

　 . 

　.

　 .

　 . 

　.

　 .

　 . 

　1 ip

　2 ip

　ijp

　.

　 .

　 . 

　.

　 .

　 . 

　.

　 .

　 . 

　性质如下：

　(1) 0 ijP

　若（X,Y）存在非负可积函数 ) , ( y x f ，使得任意可度量的区域 D，有  Ddxdy y x f D Y X P ) , ( } ) , {(

　则称(X,Y)为二维连续型随机变量， ) , ( y x f 为X 和 Y 的联合概率密度。记为(X,Y)～ ) , ( y x f

　性质如下：

　(1) 0 ) , (  y x f

　(2)    1 ) , ( dxdy y x f

　对任何2) , ( R y x  ,有联合分布函数        x ydsdt t s f y Y x X P y x F ) , ( } , { ) , (

　(2)  i jijP 1

　联合分布函数：

　    x x y yiji jP y Y x X P y x F } , { ) , (

　 二维随机变量的边缘分布

　定义：称随机向量 ) , (2 1X X 中每一个随机变量iX 的分布，为关于iX （i=1,2）的边缘分布。设（X,Y）的联合分布函数为 ) , ( y x F 。

　关于 X X 的边缘分布函数 ) , ( ) , { } { ) (         x F Y x X P x X P x F X

　关于 Y Y 的边缘分布函数 ) , ( ) , { } { ) ( y F y Y X P y Y P y F Y        

　(X,Y) 为离散型

　(X, Y) 为连续型

　设（X,Y）的联合概率分布为 , 2 , 1 , }, , {     j i y Y x X P Pj i ij， 则 （ X,Y ）

　关于 X X 的边缘分布为：

　, 2 , 1 , } {1   i P x X P Pjij i i…（联合分布列中第 i 行各元素相加）

　（ X,Y ）

　关于 Y Y 的边缘分布为：

　, 2 , 1 , } {1   j P y Y P Piij j j…（联合分布列中第 j 列各元素相加）

　（ X,Y ）

　关于 X X 的边缘分布函数为：

　x x jij XiP x F1) (

　（ X,Y ）

　关于 Y Y 的边缘分布函数为：

　y y iij YjP y F1) (

　设（X,Y）的联合概率密度为 ) , ( y x f ， 则 （ X,Y ）

　关于 X X 的边缘密度为：

　  dy y x f x f X ) , ( ) (

　（ X,Y ）

　关于 Y Y 的边缘密度为：

　  dx y x f y f Y ) , ( ) (

　（ X,Y ）

　关于 X X 的边缘分布函数为：

　dx dy y x f x FxX] ) , ( [ ) (   

　（ X,Y ）

　关于 Y Y 的边缘分布函数为：

　dy dx y x f y FyY] ) , ( [ ) (   

　2、 典型例题解析

　题型 1：确定离散型和连续型随机变量的分布函数 题型 2：确定联合分布函数 ) , ( y x F 与联合概率密度 ) , ( y x f 中的待定系数 题型 3：由联合分布求边缘分布 题型 4：求二维随机变量（X,Y）落在某一区域的概率 例 例 1 1、设随机变量 X 的分布列为 1）求 X 的分布函数(题型 1) 2）求 3) (2 )2523( ),21(      X P X P X P ，

　解：1）由 ) ( ) (x xiix p x F 得   3 , 13 2 ,21412 1 ,-411 - , 0) (xxxxx F ，即  3 , 13 2 ,432 1 ,-411 - , 0) (xxxxx F

　2）41)21( )21(    F X P

　214143)23( )25( )2523(        F F X P

　4321431 ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( 3) (2           X P F F X P

　例 例 2 2、设随机变量 X 的概率密度为  ，其他 02 1 , - 21 0 ,) ( x xx xx f

　1）求 X 的分布函数(题型 1) 2）求 )2321(   X P

　解：1）由 xdt t f x F ) ( ) ( 得    2 , 12 1 , ) - 2 (1 0 ,0 0,) (1100xx dx x xdxx xdxxx Fxx X -1 2 3 ) (ix P

　41 21 41

　即    2 , 12 1 1, - 221 0 ,20 0,) (22xx xxxxxx F

　2）43)21( )23( )2321(      F F X P

　 例 例 3 3、设随机变量(X,Y)的联合密度函数   ，其他 0| | , 2 0 ,) , (x y x Ay x f ，求：常数 A （题型 2）

　解：由概率密度性质得 1 20222020    Ax dx Ax Ady dxxx41 A

　例 例 4 4、二维随机变量(X,Y)联合概率分布由下表所示：

　Y -2 0 1 -1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05 1）求 0} Y 0, {X   P 及 ) 0 , 0 ( F (题型 4) 2）求 Y 的边缘分布（题型 3）

　解：1）

　2 . 0 1 . 0 1 . 0 } 1 , 1 { } 0 , 1 { } 0 , 0 {              Y X P Y X P Y X P

　4 . 0 1 . 0 3 . 0 } 0 , 1 { } 2 , 1 { } 0 , 0 { ) 0 , 0 (                Y X P Y X P Y X P F

　2）Y 的边缘分布即把各列概率相加，得 Y -2 0 1 P 0.55 0.3 0.15 ：

　分析：对离散型随机向量描述一个随机试验，首先要明确随机向量的所有可能取值，然后根据试验条件求出取各相应值的概率。

　X

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