线性规划距离类型

　1. 设实数 x，y 满足不等式组 x＋y≤2y－x≤2，y≥1，则 x 2 ＋y 2 的取值范围是(

　) A．[1，2]

　 B．[1，4] C．[ 2，2]

　 D．[2，4] 【解析】如图所示，

　不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2 ＋y 2 表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为 1；最远的距离为 AO，其值为 2，故 x 2 ＋y 2 的取值范围是[1,4]． 【答案】B

　2. 设 D 为不等式组 x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________． 【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

　则根据图形可知，点 B(1,0)到直线 2x－y＝0 的距离最小，d＝ |2×1－0|2 2 ＋1＝ 2 55，故最小距离为 2 55． 【答案】

　2 55 3. 设不等式组 x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是 Ω 1 ，平面区域 Ω 2 与 Ω 1 关于直线3x－4y－9＝0 对称．对于 Ω 1 中的任意点 A 与 Ω 2 中的任意点 B，|AB|的最小值等于(

　) A． 285

　B．4 C． 125

　D．2

　【解析】不等式组 x≥1x－2y＋3≥0y≥x，所表示的平面区域如图所示，

　解方程组  x＝1y＝x，得  x＝1y＝1．点 A(1,1)到直线 3x－4y－9＝0 的距离 d＝ |3－4－9|5＝2，则|AB|的最小值为 4． 【答案】B

　4. 已知实数 x，y 满足 x＋y－1≤0，x－y＋1≥0，y≥－1，则 w＝x 2 ＋y 2 －4x－4y＋8 的最小值为________． 【解析】目标函数 w＝x 2 ＋y 2 －4x－4y＋8＝(x－2) 2 ＋(y－2) 2 ，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数 x，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，

　由图可知，点(2,2)到直线 x＋y－1＝0 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝ 3 22，所以 w min ＝ 92 ． 【答案】

　92

　5. 在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组 2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________． 【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点 O 到直线 x＋y－2＝0 的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM| min ＝|－2|1 2 ＋1 2 ＝ 2．

　 【答案】

　2 6. 已知1,1 0,2 2 0xx yx y     则2 2x y  的最小值是

　. 解析：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而2 2x y  表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知 A（1，2）是满足条件的最优解。2 2x y  的最小值是为 5。

　点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

　7. 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件2 2 02 4 03 3 0x yx yx y        ， 则 z=x2 +y 2的 最 大 值 和 最小 值 分 别 是 （ ）

　 A、 13， 1

　B、 13， 2

　C、 13，45

　D、 13 ，2 55 解 ：

　如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2 +y 2是 点 （ x， y）

　到 原 点 的 距 离的 平 方 ，故 最 大 值 为 点 A（ 2,3）到 原 点 的 距 离 的 平 方 ，即|AO|2 =13，最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x＋ y－ 2=0 的 距 离 的 平 方 ，即 为45， 选 C 8. 已知点 P ( x ， y )满足 x ＋ y ≤4，y ≥ x ，x ≥1，过点 P 的直线与圆 x2 ＋ y 2 ＝14 相交于A ， B 两点，则| AB |的最小值为(

　)

　A．2

　 B．2 6 C．2 5

　 D．4 解析：选 D 不等式组 x ＋ y ≤4，y ≥ x ，x ≥1 图 2 2x + y - 2= 0 x – 2y + 4 = 3x – y – 3 = O y x A

　所表示的平面区域为△ CDE 及其内部(如图)，其中 C (1,3)， D (2，2)， E (1,1)，且点 C ，D ， E 均在圆 x2 ＋ y 2 ＝14 的内部，故要使| AB |最小，则AB ⊥ OC ，因为| OC |＝ 10，所以| AB |＝2× 14－10＝4，故选 D.

　9. 设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 5，则 满足的关系为__________； 的最小值为__________． 【答案】

　1 【解析】

　 10. 已知点 P 的坐标(x，y)满足 x＋y≤4，y≥x，x≥1，过点 P 的直线 l 与圆 C：x 2 ＋y 2 ＝14 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值是________． 答案 4 解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示， 设点 P 到圆心的距离为 d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离 d 最大的点，即为图中的 P 点，其坐标为(1,3)，则 d＝ 1 2 ＋3 2, x y2 5 0{2 2 0 0x yx yx y       0, 0 z ax by a b    , a b2 2a b 3 4 5 a b  

　＝ 10，此时|AB| min ＝2 14－10＝4.

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