5.函数三大性质
函数四大性质 单调性 1. 给定函数①12y x ，②12log ( 1) y x ，③ | 1| y x ，④12 x y ，在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A）①②
（B）②③
（C）③④
（D）①④ 答案：B 2. 定义在 R R 上的函数 ( ) y f x 是减函数，且对任意的 a R ，都有 ( ) ( ) 0 f a f a ，若 x，y 满足不等式2 2( 2 ) (2 ) 0 f x x f y y ，则当 1 4 x 时， 2x y 最大值为（
）
A. 1
B. 10
C. 5
D. 8 答案：B 3. 设函数 ( ) f x 定义在实数集上， (2 ) ( ) f x f x ，当 1 x 时， ( ) ln f x x ，则有（
）
A. 1 1( ) (2) ( )3 2f f f
B. 1 1( ) (2) ( )2 3f f f
C. 1 1( ) ( ) (2)2 3f f f
D. 1 1(2) ( ) ( )2 3f f f 答案：C 4. 函 数 ( ) f x 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 ( ) ( 2 ) f x f x ， 且 当 ( , 1) x 时 ，"( 1) ( ) 0 x f x 。
设( 0 ) , ( 0 . 5 ) , ( 3) a f b f c f ，则（
）
A. a b c
B. c a b
C. c b a
D. b c a
答案：B 5. 已知 0 a ，且 1 a ，函数, 0( )( 3) 4 , 0xa xf xa x a x ，满足对任意1 2x x ，都有1 21 2( ) ( )0f x f xx x成立，则 a 的取值范围是__________。
答案：1(0, ]4 6. 请研究函数2( ) 22 2f xx 和1( ) lg1xf xx 的单调性。前者是复合函数，复合过程如下：
7. 已知函数3( )1axf xa ( 1) a 在区间 (0,1] 上单调递减，求 a 的取值范围。
解：本题中下列各点影响函数的单调性：0、1，分类讨论如下：
当 1 a 时，函数在定义域3( , )a 单调递减，区间 (0,1] 应是定义域的子集，
31a ，得 3 a ，故 1 3 a
当 0 1 a 时，函数单调递增，不满足条件。
当 0 a 时，函数在定义域3( , )a 单调递减，区间 (0,1] 肯定是定义域的子集，
注意这时定义域条件为：
3 0 ax ，由于 0 a ，得3xa
综上分析， 0 a 或 0 1 a
8. ①函数212( ) log ( 2 3) f x x ax 在区间上 ( ,1] 单调递增，求 a 的取值范围。
解：外层函数12log y u 单调递减，这就要求内层函数22 3 u x ax 在区间 ( ,1] 上单调递减，这就要求其对称轴 1 a ，但问题不是至此为止，还必需要当 1 x 时，22 3 0 x ax ，即 1 2 3 0 x ，得 2 a ，故 1 2 a
②函数212( ) log ( 2 3) f x x ax 的增区间是 ( ,1] ，求 a 的取值范围。（答案 1 a ）
注意22 3 u x ax 的图像如与 x 轴有交点（如上图右），那么当 0 u 时的单调区间不可能是闭区间（指1 2x x 、处），只有它的图像与 x 轴没有交点（如上图左），且对称轴恰好是 1 x 时， ( ,1] 才是它的单调递减区间才是( ,1] ，所以 1 a
奇偶性 9. 若 a,b 是非零向量，且 a b ， a b ，则函数 ( ) ( ) ( ) f x xa b xb a 是（
）
（A）一次函数且是奇函数
（B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数
（D）二次函数但不是偶函数 答案：A 10. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)= 2 x +2x+b(b 为常数)，则 f(-1)=（
）
(A) 3
(B) 1
(C)-1
(D)-3 答案：D 11. 若 ( ) f x 是 R R 上的周期为 5 的奇函数，且满足 (1) 1, (2) 2 f f ，则 (3) (4) f f （
）
（A）-1
（B）1
（C）-2
（D）2 答案：D 12. 设函数 ( ) f x 和 ( ) g x 分别是 R R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（
）
A． ( ) | ( )| f x g x 是偶函数
B． ( ) | ( )| f x g x 是奇函数 C． | ( )| ( ) f x g x 是偶函数
D． | ( )| ( ) f x g x |是奇函数 答案：A 13. 若函数 ( )(2 1)( )xf xx x a 为奇函数，则 a= （
）
A． 21
B． 32
C． 43
D．1 答案：A 14. 设偶函数 ( ) f x 满足 ( ) 2 4( 0) f x x x ，则 { | ( 2) 0} x f x (
)
（A）
2 4 x x x 或
（B）
0 4
x x x 或 （C）
0 6
x x x 或
（D）
2 2
x x x 或 答案：B 15. 设 ( ) f x 是连续的偶函数，且当 x >0 时 ( ) f x 是单调函数，则满足3( )4xf x fx 的所有 x 之和为（
）
A． 3
B． 3
C． 8
D． 8
答案：C 16. 已知 ( ) y f x 是偶函数，当 0 x 时，2( ) ( 1) f x x ，若当1[ 2, ]2x 时， ( ) n f x m 恒成立，则 m n 的最小值为（
）
A. 13
B. 12
C. 34
D. 1 答案：D 17. 设奇函数 ( ) y f x 在 (0, ) 上为增函数，且 (1) 0 f ，则不等式( ) ( )0f x f xx 的解集（
）
A. ( 1,0) (1, )
B. ( ,1) (0,1)
C. ( ,1) (1, )
D. ( 1,0) (0,1)
答案：D 18. 1( ) lg1xf xx 为_____（奇/偶）函数
，2 1( )2 1xxf x 为_____（奇/偶）函数 19. 若 ( ) f x是奇函数，则 满足( ) ( ) f x f x ， ( 1) ( 1) f x f x
若 ( 1) f x 是奇函数则( 1) ( 1) f x f x
20. 若 ( 1) f x 是偶函数，那么2( 1) ? f x x
解：若 ( 1) f x 是偶函数，那么对任意的 t 有 ( 1) ( 1) f t f t
把2x x 看作 t ，就有2 2( 1) ( 1) f x x f x x
21. 定义在R 上的奇函数 ( ) f x 满足当 0 x 时，2( ) 2 3 f x x x 解不等式
( 2) 3 f x
22. 函数 ( ) f x 的定义域为 R，若 ( 1) f x 与 ( 1) f x 都是奇函数，则(
)
(A) ( ) f x 是偶函数
(B) ( ) f x 是奇函数
(C) ( ) ( 2) f x f x
(D) ( 3) f x 是奇函数 解: ( 1) f x 与 ( 1) f x 都是奇函数， ( 1) ( 1), ( 1) ( 1) f x f x f x f x ， 函 数 ( ) f x 关 于 点 ( 1 , 0 ) ， 及 点 ( 1 , 0 ) 对 称 ， 函 数 ( ) f x 是 周 期 2 [ 1 ( 1 ) ] 4 T 的 周 期 函数. ( 1 4) ( 1 4) f x f x ， ( 3) ( 3) f x f x ，即 ( 3) f x 是奇函数。故选 D 23. 已知定义在 R 上的奇函数 ( ) f x 和偶函数 ( ) g x 满足 ( ) ( ) 2( 0,x xf x g x a a a 且 1) a ，若 (2) g a ，则 (2) f
A.2 B.154 C.174 D.2a
答案：B
解析：因为 ( ) ( ) 2,x xf x g x a a 则 ( ) ( ) 2x xf x g x a a ，联立可得 ( ) 2 g x ，又因为 (2) g a ，故 a=2.因为2 2(2) (2) 2, f g a a
(2) , g a 则2 2 2 215(2) 2 2 2 2 24f a a a ，所以选 B. 24. 已知 ) (x f 是定义在 R 上的奇函数.当 0 x 时, x x x f 4 ) (2 ,则不等式 x x f ) ( 的解集用区间表示为___________. 【答案】
, 5 0 , 5
对称性 25. 函数 4 12xxf x 的图象（
）
A. 关于原点对称
B. 关于直线 y=x 对称
C. 关于 x 轴对称
D. 关于 y 轴对称 答案：D 26. 定义在 R 上的函数 ( ) y f x ，满足"3(3 ) ( ),( ) ( ) 02f x f x x f x ，若1 2x x ，且1 23 x x 则有 A.1 2( ) ( ) f x f x
B. 1 2( ) ( ) f x f x
C. 1 2( ) ( ) f x f x
D.不确定 答案：B 例题：函数定义在实数集上，关于 1 x 对称，当 1 x 时， ( ) 3 1xf x ，试比较1( )3f 、3( )2f 与2( )3f 的大小。
周期性 27. 已知 ( ) f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 02 x 时,3( ) f x x x ,则函数 ( ) y f x 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为（
）
（A）6
（B）7
（C）8
（D）9 答案：A 28. 已知 ( ) y f x 是定义在 R R 上的偶函数， ( ) y g x 是定义在 R R 上的奇函数，函数 ( ) g x 的图像经过点（-1,1），且 ( ) ( 1) g x f x ，则 (2011) (2012) f f （
）
A. 0
B. 1
C. 2
D.-1 答案：D 29. 一个定义在 R 上函数，既是奇函数，又是周期函数， T 是它的正周期，那么 ( ) 0 f x 在 [ , ] T T 上的根的数目是_________ 解：函数 ( ) sin f x x 满足题设条件，它的周期 2 T ，在 [ , ] T T 上即 [ 2 ,2 ] 上有 5 个根。
证明方法如下：首先对奇函数， (0) 0 f ，对于周期函数， ( ) 0 f T 、 ( ) 0 f T ；
另外，对奇函数， ( ) ( )2 2T Tf f ， 对于周期函数， ( ) ( ) ( )2 2 2T T Tf f T f ，两式相减得 ( ) 02Tf ，故 ( ) 02Tf
在 [ , ] T T 上有 5 个根：
T 、2T 、 0 、2T和 T
30. ( ) f x 是 R 上的偶函数， ( 6) ( ) (3) f x f x f ，当1 2, [0,3] x x 且1 2x x 时，函数单调递增，下列说法正确的是：
A． ( 3) 0 f
B． 6 x 是对称轴 C．在 [ 9, 6] 上为增函数
D．在 [ 9,9] 上有 4 个零点
解：取 3 x ，则 (3) ( 3) (3) f f f ，得 ( 3) (3) 0 f f ，周期 6 T ，在 [0,3] 上单调递增， [ 3,0] 上单调递减。
31. 已 知 函 数 f x 满 足 ：
114f ， 4 , f x f y f x y f x y x y R ， 则 2010 f=_____________. 解析：取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 2010 f =f(0)= 21 32. 定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( 6) ( ) f x f x .当 3 1 x 时，2( ) ( 2) f x x ，当 1 3 x 时，( ) f x x 。则 (1) (2) (3) (2012) f f f f （
）
（A）335
（B）338
（C）1678
（D）2012 【答案】B 【解析】由 ) ( ) 6 ( x f x f ，可知函数的周期为 6，所以 1 ) 3 ( ) 3 ( f f ， 0 ) 4 ( ) 2 ( f f ，1 ) 5 ( ) 1 ( f f ， 0 ) 6 ( ) 0 ( f f ， 1 ) 1 ( f ， 2 ) 2 ( f ，所以在一个周期内有1 0 1 0 1 2 1 ) 6 ( ) 2 ( ) 1 ( f f f ，所以338 3 335 1 335 ) 2 ( ) 1 ( ) 2012 ( ) 2 ( ) 1 ( f f f f f ，选 B. 33. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0 ), 2 ( ) 1 (0 ), 1 ( log 2x x f x fx x，则 f（2009）的值为(
) A.-1
B. 0
C.1
D. 2 答案:C
【解析】:由已知得2( 1) log 2 1 f , (0) 0 f , (1) (0) ( 1) 1 f f f , (2) (1) (0) 1 f f f , (3) (2) (1) 1 ( 1) 0 f f f , (4) (3) (2) 0 ( 1) 1 f f f , (5) (4) (3) 1 f f f , (6) (5) (4) 0 f f f , 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C. 34. 设定义在 R 上的函数 f x 满足 2 13 f x f x ，若 1 2 f ，则 99 f (
) （Ａ）
13
（Ｂ）
2
（Ｃ）132
（Ｄ）213
答案：C 函数性质综合应用 35. 给出下列三个命题：
①函数1 1 cosln2 1 cosxyx与 lntan2xy 是同一函数； ②若函数 y f x 与 y g x 的图像关于直线 y x 对称，则函数 2 y f x 与 12y g x 的图像也关于直线 y x 对称； ③若奇函数 f x 对定义域内任意 x 都有 (2 ) f x f x ，则 f x 为周期函数。
其中真命题是（
）
A. ①②
B. ①③
C.②③
D. ② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除 A、B，验证③, [2 ( )] (2 ) f x f x f x ,又通过奇函数得 ( ) f x f x ，所以 f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。
36. 已知定义在 R 上的奇函数 ) (x f ，满足 ( 4) ( ) f x f x ,且在区间[0,2]上是增函数,则(
).
A. ( 25) (11) (80) f f f
B. (80) (11) ( 25) f f f
C. (11) (80) ( 25) f f f
D. ( 25) (80) (11) f f f
【解析】:因为 ) (x f 满足 ( 4) ( ) f x f x ,所以 ( 8) ( ) f x f x ,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则) 1 ( ) 25 ( f f , ) 0 ( ) 80 ( f f , ) 3 ( ) 11 ( f f ,又因为 ) (x f 在 R 上是奇函数， (0) 0 f ,得0 ) 0 ( ) 80 ( f f , ) 1 ( ) 1 ( ) 25 ( f f f ,而由 ( 4) ( ) f x f x 得) 1 ( ) 4 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 11 ( f f f f f ,又因为 ) (x f 在区间[0,2]上是增函数,所以 0 ) 0 ( ) 1 ( f f ,所以
0 ) 1 ( f ,即 ( 25) (80) (11) f f f ,故选 D.
答案:D. 37. 已知函数 ) (x f 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 ) ( ) 1 ( ) 1 ( x f x x xf ，则)25( f 的值是（
）
A.
0
B. 21
C. 1
D. 25 【答案】A 【解析】若 x ≠0，则有 ) (1) 1 ( x fxxx f ，取21 x ，则有：
)21( )21( )21(21211) 121( )21( f f f f f （∵ ) (x f 是偶函数，则 )21( )21( f f
）
由此得 0 )21( f
于是， 0 )21( 5 )21( ]21211[35) 121(35)23(35)23(23231) 123( )25( f f f f f f f
38. 已知偶函数 ( ) f x 在区间 0, ) 单调增加，则满足 (2 1) f x ＜1( )3f 的 x 取值范围是（
）
（A）（13，23）
(B) ［13，23）
(C)（12，23）
(D) ［12，23）
【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)＝f(|x|)
∴得 f(|2x－1|)＜f(13),再根据 f(x)的单调性
得|2x－1|＜13
解得13＜x＜23 【答案】A 39. 定义在 R 上的偶函数 ( ) f x 满足：对任意的1 2 1 2, ( ,0]( ) x x x x ，有2 1 2 1( )( ( ) ( )) 0 x x f x f x . 则当*n N 时,（
）
(A) ( ) ( 1) ( 1) f n f n f n
(B) ( 1) ( ) ( 1) f n f n f n
(C) (C) ( 1) ( ) ( 1) f n f n f n
(D) ( 1) ( 1) ( ) f n f n f n
答案：C 1 2 1 2 2 1 2 12 1 2 1, ( ,0]( ) ( )( ( ) ( )) 0( ) ( ) ( ) ( ,0]( ) ( ) (0 ]( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)x x x x x x f x f xx x f x f x f xf x f xf n f n f n f n f n f n 解析：时， 在 为增函数为偶函数 在 ， 为减函数而n+1>n>n-1>0, 40. 已知定义在 R 上的奇函数 ) (x f ，满足 ( 4) ( ) f x f x ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 8 , 8 上有四个不同的根1 2 3 4, , , x x x x ,则1 2 3 4_________. x x x x
【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 ( 4) ( ) f x f x ,所以 ( 4) ( ) f x f x ,所以, 由 ) (x f 为奇函数,所以函数图象关于直线 2 x 对称且 (0) 0 f ,由 ( 4) ( ) f x f x 知 ( 8) ( ) f x f x ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 ) (x f 在区间[0,2]上是增函数,所以 ) (x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8 , 8 上有四个不同的根1 2 3 4, , , x x x x ,不妨设1 2 3 4x x x x 由对称性知1 212 x x 3 44 x x 所以1 2 3 412 4 8 x x x x
答案:-8
41. 设奇函数 ( ) f x 在 (0 ) ， 上为增函数，且 (1) 0 f ，则不等式( ) ( )0f x f xx 的解集为（
）
A． ( 10) (1 ) ， ，
B． ( 1) (01) ， ，
C． ( 1) (1 ) ， ，
D． ( 10) (01) ， ，
答案：D 42. 设定义在 R 上的函数 f x 满足 2 13 f x f x ，若 1 2 f ，则 99 f (
) （Ａ）
13
（Ｂ）
2
（Ｃ）132
（Ｄ）213
答案：C 43. 若函数 ( ), ( ) f x g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 ( ) ( )xf x g x e ，则有（
）
A． (2) (3) (0) f f g
B． (0) (3) (2) g f f
C． (2) (0) (3) f g f
D． (0) (2) (3) g f f 答案：D -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y
x
f(x)=m (m>0)
44. 函数 f ( x )= x3 +sin x +1( x R R),若f ( a )=2,则 f (- a )的值为（
）
A.3
B.0
C.-1
D.-2 答案：B 45. 已知函数 ) (x f 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 ) ( ) 1 ( ) 1 ( x f x x xf ，则)25( f 的值是(
)
A.
0
B. 21
C. 1
D. 25 【答案】A 【解析】若 x ≠0，则有 ) (1) 1 ( x fxxx f ，取21 x ，则有：
)21( )21( )21(21211) 121( )21( f f f f f （∵ ) (x f 是偶函数，则 )21( )21( f f
）
由此得 0 )21( f
于是， 0 )21( 5 )21( ]21211[35) 121(35)23(35)23(23231) 123( )25( f f f f f f f
46. 设函数 f(x) ( ) x R 满足 f( x )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 [0,1] x 时，f(x)=x 3 .又函数 g(x)=|xcos ( ) x |，则函数h(x)=g(x)-f(x)在1 3[ , ]2 2 上的零点个数为(
)
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8 【答案】B 】
【解析】
法 1：因为当 [0,1] x 时，f(x)=x 3 . 所以当 [1, 2] - ) [0,1] x x 时，(2 ，f(x)=f(2 x)=(2 x) 3 ， 当1[0, ]2x 时，g(x)=xcos ( ) x ；当1 3[ , ]2 2x 时，g(x)= xcos ( ) x ，注意到函数 f(x)、 g(x)都是偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，1 3( ) ( ) 02 2g g ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间1 1 1 3[ ,0] [ ] [ ] [1 ]2 2 2 2 、0, 、 ,1、, 上各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B