六年级奥数总复习教师版一……六讲
六年级奥数讲义 第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型 . 1、 裂项：
是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元：
让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：
掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简 便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 1 1 1 1
( ) a b b a a b
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，那么有 (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1 n (n 1) (n 2)
，
1 n (n 1) (n 2) (n 3)
形式的，我们有：
1 1 1 1
[ ] n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1
[ ] n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3) 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x 提取出来即可转 化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a b a b 1 1
a b a b a b b a （1）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
（2）
2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b b a 裂差型运算的核心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有 “两两抵消” 型的，同时还有转化为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 1 2 2 3 3 4 ... (n 1) n
1 3
(n 1) n (n 1) 1 (2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... (n 2) (n 1) n (n 2)( n 1)n( n 1) 4 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转 化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论：
纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差 第 1 页 共 104 页
六年级奥数讲义 分母 n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数
按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧 · · · a ab 0.a ； 0.ab ； 9 99 2、单位分数的拆分：
· · 1 ab ab 0.0ab ； 99 10 990
· · abc a 0.ab c ，,, 990
例：
1 10
=
1 1 20 20
=
1 1 1 1 1 1 1 1 = = = 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母 N 的约数中任意找出两个 m 和 n, 有：
1 1(m n) m n N N(m n) N (m n) N (m n)
=
1 1 A B 本题 10 的约数有 :1,10,2,5. 。
例如：选 1 和 2，有：
1 1(1 2) 1 2 1 1 10 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15 本题具体的解有：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 11 110 12 60 14 35 15 30 例题精讲 模块一、 分数裂项 1 1 1 1 1 【例 1 1】
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10 【解析】
原式
1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10 1 1 1
119 3 1 2 3 8 9 10
2160 【巩固】
3 3 3 ...... 1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20 【解析】
原式
1 1 1 1 1 1 1 3 [ ( ... )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20 1 1 3 19 20 1 1139 1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840 5 7 19 【例 2 2】
计算：
． 1 2 3 2 3 4 8 9 10 【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差 数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2，4，6，,, 这一公差为 2 的等差数列 ( 该数列的第
n 个数恰好为
n 的
2 倍) ，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和 再进行计算． 原式 3 2 3 4 3 16 1 2 3 2 3 4 8 9 10
1 1 1 1 2 8 3 2 1 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10
3 1 1 1 1 2 2 2 90 2 10
7 1 1 4 60 5
23 15 也 可 以 直 接 进 行 通 项 归 纳 ． 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ， 可 知 分 子 的 通 项 公 式 为 2n 3 ， 所 以 第 2 页 共 104 页
六年级奥数讲义
2n 3 2 3 n n 1 n 2 n 1 n 2 n n 1 n 2
， 再 将 每 一 项 的
2 n 1 n 2
与 3 分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． n n 1 n 2 【巩固】计算：
1155 5 7 17 19 （ ）
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 【解析】
本题的重点在于计算括号内的算式：
5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
．这个算式不同于我们 常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情 况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 观察可知 5 2 3 ， 7 3 4 ，,, 即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 2 3 3 4 9 10 2 3 4 3 4 5 9 10 11 1 1 1 1 1 1 3 4 2 4 4 5 3 5 1 0 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11 1 1 1 1 1 1 1 8 1 2 8 31 3 11 2 2 10 3 11 33 2 5 33 55
所以原式 1155 31 651 55
． 3 4 5 12 【巩固】
计算：
1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14 【解析】
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数， 就会是 5 个连续自然数的乘积， 所以可以先将每一项的分子、 分母都乘以分子中的数．即：
2 2 2 2 3 4 5 12 原式 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公
式：
2 3 1 5 4 ，
2 4 2 6 4 ，
2 5 3 7 4 ,, 【解析】
原式
2 2 2 2 3 4 5 12 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13 4 4 4 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14 1 1 1 1 1 2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14 1 1 1 1 1 77 1 1 1 1 1 75 12 2 12 13 24 11 12 13 14 8 11 12 13 14 8 2 11 14 8 308 616 第 3 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【例 3 3】
1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10 【解析】
原式
1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10 2 1 3 1 4 1 10 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10
1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10
1
1 3628799 2 3 4 9 10 3628800 【例 4 4】
1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 100 【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，
通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
1 1 2 (1 1) 1 1 1 2 2
，
1 1 2 (1 2) 2 1 2 2 3 2
，,, ， 原式 2 2 2 2 2 (1 1 ) 200 1 99 1 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101 【巩固】
2 3 4 50 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50) 2 3 4 5 50 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋, ＋ 1 3 3 6 6 10 10 15 1225 1275 1 1 1 1 1 1 1 1 1274 ＝（ ）＋（ ）＋（ ）＋（ ）＝ 1 3 3 6 6 10 1225 1275 1275 【巩固】
2 3 4 100 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100) 【解析】
2 1 1 1 (1 2) 1 1 2
，
3 1 1 (1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3
，,, ，
100 1 1 (1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100
，所以
原式
1
1 1 2 100
1
1 5049 5050 5050 【巩固】
1
2 3 10 1 （1 2）
(1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10) 【解析】
原式
2 3 4 10 1 ( ) 1 3 3 6 6 10 45 55
1 1
1 1 1 1 1 1 1 3 3 6 6 10 45 55
1 1
1 55 1 55 1 1 1 1 1 1 【例 5 5】
2 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 2 2 ( ) ( ) 【解析】
这 题是利用平方差公式进行裂项：
a b a b a b ，
. 第 4 页 共 104 页
六年级奥数讲义 原式 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2
1 1 1 3 ( ) 2 14 2 14 【巩固】
计算：
【解析】
原式
3 5 7 15
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 7 8
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 8 7
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 7 8
1
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 7 8 【巩固】
计算：
1 63
2 1 8 64
2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
． 【解析】
原式
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
997
2 2 2 2 4 4 6 1994 1996
997
1 1 1 1 1 1 2 4 4 6 1994 1996
997
1 1 2 1996
997 997 1996 【巩固】
计算：
2 2 2 2 1 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101
． 【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大， 但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
2 2 2 1 ， 4 1 ，
2 6 1 ，,, ，
2 100 1 ，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后 进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了．
原式
2 2 2 2 1 2 4 6 100 2 2 2 2 4 2 1 4 1 6 1 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 1 4 1 6 1 100 1 1 1 1 1 1
50 4 1 3 3 5 5 7 99 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1
50 1 4 2 3 3 5 5 7 99 101
1 1 1
50 1 4 2 101
1 50
50 4 101
12
63 101 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 【巩固】
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 2 n 1 1 【解析】
（法 1）：可先找通项 a 1 1 n 2 2 n 1 n 1 (n 1) (n 1)
原式
1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1 5 5 5 (1 ) 5 5
2 11 11 11
（法 2）：原式
2 8 8 18 18 32 32 50 50 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 5 5 7 7 9 9 11
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六年级奥数讲义
6 10 14 18 50 6 5 2 10 4 5
3 5 7 9 11 11 11 1 1 1 【例 6 6】
2 3 1999 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 3 2 3 1999 1 1 【解析】
2 1 1 n 1 n 1 2 ( )
1 1 1 n 2 (n 1)(n 2) n 1 n 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2 3 n 1 2
原式＝
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 4 5 1999 2000
＝
1
1 1000
999 1000 【巩固】
计算：
1
1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2007 【解析】
先 找通项公式
a n
1 2 1 1 2( ) 1 2 n n (n 1) n n 1
原式
1
1 1 1 2 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1) 2 2 2
2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 2007 2008
2
2007 2008
2007 1004 【巩固】
1 1 1 1 3 3 5 3 5 7 3 5 7 21 【解析】
先 找通项：
a n
1 1 1 1 3 5 2n 1 n n 2
2n 1 3 n 2
， 1 1 1 1 1 1 原式 1 3 2 4 3 5 4 6 9 11 10 12 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12 1 1 1 1 1 1 175 2 1 11 2 2 12
264 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50 【例 7 7】
2 2 3 2 3 4 2 3 50 (1 n) n 【解析】
找通项
a n
n (n 1) 2 (1 n) n n (n 1) 2
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6 原式 ， 4 10 18 28 1 4 2 5 3 6 4 7 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有 2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 51 3 50 23 原式 2 1 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52 1 52 26 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26 【例 8 8】
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26 【解析】
a n
n (n 1) (2 n 1) 2 2 2 1 2 n 6 2 2n 1 2 1 1 ( ) 3 3 3 2 2 1 2 n n (n 1) 3 n (n 1) 3 n n 1 4
原式= 2 [(1 1) ( 1 1) (1 1 ) ( 1 1 )] 3 1 2 2 3 3 4 26 27
=
2 1 52
(1 ) 3 27 81 第 6 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【巩固】
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 1 99 1 【解析】
a n
1
2 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 (n 1) 1 (n 1) 1 n (n 2)
原式
2 2 3 3 98 98 99 99 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1) 2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 49
1 3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50
2 2 2 2 3 99 【例 9 9】
计算：
2 2 2 2 1 3 1 99 1 2 2 n 1 n 1 【解析】
通 项公式：
a ， n n 1 1 n 1 1 n n 2
原式
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1) 2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 2 2 3 3 4 4 98 98 99 99 2 99 99 1 3 2 4 3 5 97 99 98 100 1 100 50 2 2 2 1 2 99 【巩固】
计算：
2 2 2 1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000 2 n 【解析】
本 题 的 通 项 公 式 为 ， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 ． 注 意 到 分 母
2 1 0 0 5 0 0 0 n n 2 100 5000 5000 100 5000 100 100 100 n n n n n n ，
可
以
看
出
如
果
把
n 换
成
100 n 的 话 分 母 的 值 不 变 ， 所 以 可 以 把 原 式 子 中 的 分 数 两 两 组 合 起 来 ， 最 后 单 独 剩 下 一 个 2 50 ．将项数和为 100 的两项相加，得 2 50 5000 5000 2 2 2 2 2 n 100 n n 100 n 2n 200n 10000 2 ， 2 2 2 2 n 100n 5000 100 n 100 100 n 5000 n 100n 5000 n 100n 5000 所以原式 2 49 1 99 ．（或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式 1 99 99 ）
【例 10 】
24
1 1 1 2 3 4 5 20 21
1 1 1 2 2 1 2 2 2 10 2
2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 【解析】
虽 然很容易看出 , , 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项 ＝ ＝ ， 2 3 2 3 4 5 4 5 那 样 能 消 去 很 多 项 ． 我 们 再 来 看 后 面 的 式 子 ， 每 一 项 的 分 母 容 易 让 我 们 想 到 公 式 ， 于 是 我 们 又 有 1 6 ＝ ．．减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子 2 n n n n 2 2 2 1 2 3 ( 1) (2 1) 也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢？
24
1 1 1 2 3 4 5 20 21
1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 10 2
1 1 2
＝
1 1 1 24 6
2 3 4 5 20 21 1
1 2
3
2
1 3
5
10
1 11 21
＝
1 1 1 24 24
2 3 4 5 20 21 2
1 4
3
4
1 6
5
20
1 22 21
＝
24
1 2 3 2
1
4
3
4
1
5
4
1 6
5
20
1
21
20
1 22 21
＝
1 1 1 24 ＝
2 4 4 6 20 22
1 1 1 6 ＝
1 2 2 3 10 11
1 6 1 ＝
11
60 11
． 第 7 页 共 104 页
六年级奥数讲义 模块二、换元与公式应用 【例 11】
计算：
3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 5 7 9 11 13 15 【解析】
原式
3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 14 15 2 4 14
2 15 15 1 4
2
3 3 3 8 1 2 7
57600 4
2 2 2 7 8 8128 【巩固】1 3 2 4 3 5 9 11 【解析】
原式 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1 2 2 2 2 1 3 1 10 1 2 2 2 2 3 10 9 2 2 2 2 1 2 3 10 10
10 11 21 6
10 375 【巩固】
计算：
1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10 【解析】
原式
2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 4 4 1 9 9 1 3 3 3 3 2 3 4 9 2 3 4 9 2 1 2 3 9 1 2 3 4 9 2 45 45 1980 【例 12】
计算：
1
1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 【解析】
法 一：利用等比数列求和公式。
7 1 1 1
3
原式
1
1 3 7
1 3 264 1 1 3 2 729 法二：错位相减法．
设
S 1
1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 364 则 3S 3 1 ， 3S S 3 6 ，整理可得 S 1 ． 2 3 4 5 3 3 3 3 3 3 729 法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所 以 可 以 采 用 “借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差 1．由于公 比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值．由题设， 2 2 2 2 2 2 1 2S 2 ，则运用“借来还去”的方法可得到 2S 6 3 ，整理得到 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 4 6 100 ) (1 3 5 99 ) 【例 13】
计算：
1 2 3 9 10 9 8 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 ) 【解析】
原式 2 10 (2 1) (2 1) (4 3) (4 3) (6 5) (6 5) (100 99) (100 99)
364 S 1 ．
729
100 第 8 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【巩固】
⑴
1 2 3 4 99 100 5050 1 50 100 100 2 2 31415926 31415925 31415927 ________；
⑵
2 2 1234 8766 2468 8766 ________． 【解析】
⑴ 观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a 31415926 ， 原式 a 2 a 1 a 1 a 2 a 2 1 1
⑵ 原式
2 2 1234 8766 2 1234 8766 2 2 1234 8766 10000 100000000 【巩固】
计算：
2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2005 2006 2007 【解析】
原式
2 2 2 2 2 2 2 2007 2006 5 4 3 2 1 (2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004) (3 2) (3 2) 1 2007 2006 2005 2004 3 2 1 1 2007 1 2007 2015028 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001 【例 14】
计算：
1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001 【解析】
原式 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 2000 2001 2000 2001 1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001 2 1 3 2 4 3 5 4 2001 2000 2 1 3 2 4 3 5 1999 2001 2000
( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001 2000 2000 2 2 2 2 2 4000 2001 2001 2000 个 2 相加 【例 15】
2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3 ． 【解析】
原式 2007 8.5 1.5 8.5 1.5 10 160 0.3 2007 10 8.5 1.5 10 160 0.3 2007 7 160 0.3 12.5 0.3 12.2 【巩固】
计算：
53 57 47 43 ． 【解析】
本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式 55 2 55 2 45 2 45 2
2 2 2 2 55 2 45 2 2 2 55 45 55 45 55 45 1000 【巩固】
计算：
11 19 12 18 13 17 14 16 ． 【解析】
本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
2 2 2 2 2 2 2 2 15 4 15 3 15 2 15 1 2 2 2 2 2 15 4 1 2 3 4 900 30 870
其中
2 2 2 2 1 2 3 4 可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 2 2 2 1 1 2 n n n 1 2n 1 进行计算． 6 【巩固】
计算：
1 99 2 98 3 97 49 51 ． 【解析】
观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式 50 49 50 49 50 48 50 48 50 1 50 1 2 2 2 2 2 2 50 49 50 48 50 1 2 2 2 2 50 49 1 2 49
2 2 2 2 50 49 1 2 49 第 9 页 共 104 页
六年级奥数讲义 2 1 50 49 49 50 99
6 2 50 49 49 25 33 49 25 100 33 49 25 67 82075 【巩固】
看规律
3 2 1 1 ，
3 3 2 1 2 3 ，
3 3 3 2 1 2 3 6 ,, ，试求
3 3. 3 6 7 14
原式 1 3 2 3. 14 3 1 3 2 3. 5 3
2 2 1 2 3 14 1 2 3 4 5 2 2 105 15 105 15 105 15 90 120 10800 【例 16】
计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 4 2 4 6 2 4 6 2 4 【解析】
令
1
1 1 1 2 4 6
a ，
1 1 1 2 4 6
b ，则：
原式
1 1 (a ) b a (b ) 6 6 1 1 ab b ab a 6 6
1 6
(a b)
1 1
1 6 6 【巩固】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 【解析】
设
1 1 1 a ，则原式化简为：
2 3 4
1 1 1 ( 1+a)( a+ )- a(1 a+ )= 5 5 5 【巩固】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41 【解析】
设
1 1 1 1 11 21 31 41
a ，
1 1 1 21 31 41
b ，
原式
1 1 a b a b
51 51 1 1 ab a ab b 51 51
1 51
(a b) 1 1 1 51 11 561 【巩固】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ ）
（ ( ) ) ( ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11 【解析】
设
1 1 1 1 5 7 9 11
A ，
1 1 1 7 9 11
B ，
原式
1 1 A B A B 13 13
1 1 A B A A B B
13 13
1 13
A B 1 1 1 13 5 65 【巩固】
计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
第 10 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【解析】
设1 1 1 1 1 2 3 4 5
A ，
1 1 1 1 2 3 4 5
B
原式
1 1 A B A B
6 6
1 1 A B A A B B 6 6
1 1 A B 6 6
1 6
( A B )
1 6 【巩固】
2 1 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 9 1 2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10 【解析】
设
1 2 3 9 t ，则有 2 3 4 10
2 1 1 2 1 2 t 1 1 t t (1 t) t t t t t 2 2 2 2 2 2 【巩固】
1 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 3 9 2 3 9 2 ( ) ( ) (1 ) ( ) 2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 4 10 3 4 10 【解析】
设
1 2 3 9 t ，则有 2 3 4 10
2 1 1 2 1 2 t 1 1 t t (1 t )(t ) t t (t t ) 2 2 2 2 2 2 1 1 【巩固】
计算
1 1 2 1
1 1
3 1
1 1
4 3
1 1
4 2009
1 2009 【解析】
设 N 3 1 = 1 1 1 + 1 1 1 N N . 原式= = +
1 2N 1 N 1 1
2N 1 2N 1 4 2 1 1 1 N 1 N N 1 1 2009 N 【巩固】
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) ( 9.31 10.98 ) 【解析】
换 元的思想即“打包” ，令 a 7.88 6.77 5.66 ， b 9.31 10.98 ，
. 则原式 a ( b 10 ) ( a 10 ) b ( ab 10a ) ( ab 10b ) ab 10a ab 10b 10 ( a b ) 10 ( 7.88 6.77 5.66 9.31 10.98 ) 10 0.02 0.2 【巩固】
计算( 1 0.45 0.56 ) ( 0.45 0.56 0.67 ) ( 1 0.45 0.56 0.67 ) ( 0.45 0.56 ) 【解析】
该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算 . 设 a 0.45 0.56 ， b 0.45 0.56 0.67 ， 有原式 ( 1 a ) b ( 1 b ) a b ab a ab b a 0.67 三、循环小数与分数互化 【例 17】
计算：
0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数． 【解析】
方法一：
0.1+0.125+0.3+0.16 0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
方法二：
0.1+0.125+0.3+0.16
1 1 3 15 9 8 9 90
11 1 18 8
53 72
0.7361 【巩固】
⑴ 0.54 0.36 ；
⑵
1.2 1.24
19 27 54 5 36 49 4 899 【解析】
⑴ 法一：原式
． 90 99 90 11 990 法二：将算式变为竖式：
0.544444 0.363636 0.908080
可判断出结果应该是
· · 0.908 ，化为分数即是
908 9 899 990 990
．
⑵ 原式
2 24 19 11 123 19 20 1 1 9 99 27 9 99 27 9 【巩固】
计算：
0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
【解析】
方 法一：
0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89 第 11 页 共 104 页
六年级奥数讲义 1 12 1 23 2 34 3 78 7 89 8 90 90 90 90 90 90
1 11 21 31 71 81 90 90 90 90 90 90
=
216 90 方法二：
0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89 =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ 0.01 0.02 0.03 0.04 0.08 0.09 =2.1+0.01 (1+2+3+4+8+9) 1 2.1 27 90 2.1 0.3 2.4 【巩固】
计算 （1）
0.291 0.192 0.375 0.526 （2）
0.330 0.186 【解析】
（1）原式
291 192 1 375 526 5 999 990 999 990
291 375 521 191 999 990
666 330 999 990
1 330 186 1 330 185 5 （2）原式 999 990 999 990 81 【例 18】
某 学生将 1.23 乘以一个数
a 时，把
1.23 误看成 1.23 ，使乘积比正确结果减少 0.3. 则正确结果该是多少 ? 【解析】
由
题意得：
1.23a 1.23a 0.3 ，即：
0.003a 0.3 ，所以有：
3 3 a ．解得 a 90 ， 900 10
所以
111 1.23 a 1.23 90 90 111 90 【巩固】
将 循环小数 0.027 与 0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少 ? 【解析】
0.027 × 0.179672 27 179672 1 179672 4856 0.004856 999 999999 37 999999 999999 循环节有 6 位，100÷ 6=16,, 4，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位是 5．这样四舍五入后第 100 位为 9． 【例 19】
有 8 个数， 0.51 ，
2 3
, 5
9
, 0.51 , 24 ,13
47 25
是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数是 0.51 ，那么 按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数 ? 【解析】
2 3
=0.6 ,
5 9
=0.5
,
24 47
0.5106
,
13 25
=0.52
显然有 0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6 即
24 13 5 2
<051<0.51< < < 47 25 9 3
，8 个数从小到大排列第 4 个是 0.51 ，
所以有
24 13 5 2 口 口 ．(“□”，表示未知的那 2 个数). 所以，这 8 个数从大到小排列第 < < <0.51<0.51< < < 47 25 9 3 4 个数是 0.51 ． 【例 20】
真分数
a 7
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992 ，那么
a 是多少
? 【解析】
1 7
=0.142857
，
2 7
=0.285714 ，
3
7
=0.428571 ，
4
7
=0.571428 ，
5
7
=0.714285 ，
6
7
=0.857142 ．因此， a 真分数 化为小数后， 从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27，又因为 1992÷ 27=73,, 7
a 7
. =0.857142 21,27-21=6 ，而 6=2+4，所以 ，即 a 6 ． 【巩固】
真分数
a 7
化成循环小数之后，从小数点后第 1 位起若干位数字之和是 9039 ，则
a 是多少？
a 【解析】
我 们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 1、2、4、5、7、8 这 6 个数字组成，只是各个数字 7
的位置不同而已，那么 9039 就应该由若干个完整的 1 4 2 8 5 7 和一个不完整 1 4 2 8 5 7 组 成。
9039 1 2 4 5 7 8 334 21 ，而 21 27 6 ，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为 6， 经检验只有最后两位为 4，2 时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“ 857142 ”，因此这个分数应该 第 12 页 共 104 页
六年级奥数讲义
为
6
7
，所以 a 6 。
【巩固】
真分数
a 7
化成循环小数之后，小数点后第 2009 位数字为 7 ，则
a 是多少？
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 6 位数字组成， 2009 6 334 5 ，因此只需 【解析】
我 们知道形如 7 判断当
a 为几时满足循环节第
5 位数是 7，经逐一检验得 a 3 。
2002 1 【例 21】
化成循环小数后第 100 位上的数字之和是 _____________. 和 2009 287 2002 1 【解析】
如果将 转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 和 2009 287 发现
2002 1 1 ，而
1 0.9 ，则第
100 位上的数字和为 9. 2009 287 【巩固】
纯 循环小数 0.abc 写成最简分数时 , 分子和分母的和是 58 , 则三位数 abc _________ abc 【解析】
如 果直接把 0.abc 转化为分数 , 应该是 , 因此, 化成最简分数后的分母应该是 999 的约数 , 我们将 999 分解质 999
因数得 :
3 999 3 37 , 这个最简分数的分母应小于 58 , 而且大于 29 , 否则该分数就变成了假分数了 , 符合这个 要 求 的 999 的 约 数 就 只 有 37 了 , 因 此 , 分 母 应 当 为 37, 分 子 就 是 58 37 21 , 也 就 是 说 abc abc 21 0.abc , 因此 abc 21 27 567 . 999 37 27 37 【例 22】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 20 20
；
（2）
1 1 1 10 【解析】
单位分数的拆分，主要方法是从分母 N 的约数中任意找出两个数 m 和
n ，有：
1 m n m n 1 1 N N (m n) N(m n) N (m n) A B
， 从分母
n 的约数中任意找出两个
m 和
n ( m n ) ，有：
1 m n m n 1 1 N N (m n) N (m n) N (m n) A B （1）
本题 10 的约数有：
1 ， 10，2，5．
例如：选 1 和 2，有：
1 1 2 1 2 1 1 10 10 (1 2) 10 (1 2) 10 (1 2) 30 15
； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m 和
n ，它们的数值虽然不同，但是如果
m 和
n 的比值相
同，那么最后得到的 A 和
B 也是相同的．本题中，从
10 的约数中任取两个数， 共有
2 C 4 4 10 种，但是其中 比值不同的只有 5 组：(1 ，1) ；(1 ，2) ；(1 ，5) ；(1 ，10) ；(2 ，5) ，所以本题共可拆分成 5 组．具体的解如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ． 10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30 （2）10 的约数有 1、2、5、10，我们可选 2 和 5：
1 5 2 5 2 1 1 10 10 (5 2) 10 (5 2) 10 (5 2) 6 15 另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． 1 1 1 1 1 1 1 10 【解析】
先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5 2 1 和连加式 5 2 1 ． 则：
1 1 1 1 1 1 1
10 4 10 20 80 40 16
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六年级奥数讲义
如果选 10、5、2，那么有：
1 1 1 1 1 1 1 10 3 6 15 17 34 85
． 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数 拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了 3 个单位分数的和或差了．比如，要得到
1 1 1 1 10
，根据前面的拆分随意选取一组，比如
1 1 1 10 12 60
，再选择其中的一个分数进行拆分，
比如
1 1 1 12 13 156
，所以
1 1 1 1 10 13 60 156
． 【例 23】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 【解析】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 72 120 18 30 405 135 81 9 15 45 【巩固】
1 10
1 1 1 1 1 1 = = - 【解析】
1 1 1 1 1 1 1 10 4 10 20 80 40 16 注：这里要先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5-2-1 和连加式 5+2+1. 【例 24】
所 有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加，和是 __________。
【解析】
小于 30 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 共十个，分母为 17 的真分数相加，和等于
1 16 2 15 3 14 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 8
17 17 17 17 17 17 17 17
17 1 2
。
类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 23 1 29 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1
1 2 3 5 6 8 9 11 14 59 2 2 【巩固】
分母为 1996 的所有最简分数之和是 _________。
【解析】
因为 1996=2× 2× 499。所以分母为 1996 的最简分数，分子不能是偶数，也不能是 499 的倍数， 499 与 3× 499。
因此，分母为 1996 的所有最简真分数之和是 1 1995 3 1993 501 1495 997 999 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 498 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996
=
1 2
1 2 3 5 6 8 9 11 59 =
1 2 【例 25】
若 1 1 1 2004 a b
，其中 a、b 都是四位数，且 a<b，那么满足上述条件的所有数对（ a,b ）是 【解析】
2004 的约数有：
1,2004,2,1002,3,668,4,501 ，满足题意的分拆有：
1 1 2 1 1 2004 2004(1 2) 2004(1 2) 6012 3006 1 1 3 1 1 2004 2004(1 3) 2004(1 3) 8016 2672 1 2 3 1 1 2004 2004(2 3) 2004(2 3) 5010 3340 1 3 4 1 1 2004 2004(3 4) 2004(3 4) 4676 3507 【巩固】
如果
1 1 1 2009 A B
， A，B 均为正整数，则
B 最大是多少？
【解析】
从 前面的例题我们知道，要将
1 N
按照如下规则写成
1 1 A B
的形式：
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六年级奥数讲义
1 m n m n 1 1 N N (m n) N (m n) N (m n) A B
，其中
m 和
n 都是
N 的约数。如果要让 B 尽可能地大，实
际上就是让上面的式子中的 n 尽可能地小而
m 尽可能地大，因此应当
m 取最大的约数，而
n 应取最小的约数，因此
m 2009 ， n 1 ，所以 B 2009 2008 . 课后练习：
1 2 3 4 5 6 练习 1. 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 【解析】
原式 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7
1
1 5040 5039 5040
1 2 3 8 9 练习 2. (1 ) (2 ) (3 ) (8 ) (9 )
2 3 4 9 10
2 n n( n 1) n n 【解析】
通
项为：
a n ， n n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 8 9 原式 3 4 6 7 8 9 36288 2 3 4 5 9 10 练习 3. 计算：
3 3 3 3 1 3 5 99 ___________． 【解析】
与公式
2 2 3 3 3 n n 1 2 1 2 n 1 2 n 相比， 4
3 3 3 3 1 3 5 99 缺少偶数项，所以可以先 补上偶数项．
原式
3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 100 2 4 100
1 4
2 2 3 3 3 3 100 101 2 1 2 50 1 1 2 2 3 2 2 100 101 2 50 51 4 4 2 2 2 50 101 2 51 12497500 练习 4. 计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007 【解析】
令
1 1 1 a ， 2 3 2007
1 1 1 b ， 2 3 2008 原式 1 1 1 a b b a b ab a ab b a 2008 练习 5. ⑴
· · · · 11 0.15 0.218 0.3 111
； ⑵ 2.234 0.98 11 ( 结果表示成循环小数 ) 【解析】
⑴原式
15 1 218 2 3 11 90 990 9 111
37 1 11 1 12345679 99 3 111 81 999999999
0.012345679
⑵ 2.234 2 234 2 2 232 990 990
， 0.98 98
99
，所以 2.234 0.98 2 232 98 1 242 1 22
990 99 990 90
，
22 1 2 2.234 0.98 11 1 11 0.09 0.02 0.113
90 11 90 月测备选 第 15 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【备选
1 】
计算：
2 3 99
3! 4! 100!
. 【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了． 2 3 99 原式 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100 3 1 4 1 100 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 99 1 2 3 100
1 1 1 1 【备选 2】计算：
1 2 1 2 3 100 2 100!
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2004 2005 2005 2006 1 2 2 3 2004 2005 2005 2006 【解析】
（法 1）：可先来分析一下它的通项情况，
a n
2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 1 n n n n n n n (n 1) n (n 1) n (n 1) n 1 n 原式= (2 1) (3 2) ( 4 3) (5 4) ( 2005 2004 ) ( 2006 2005 ) 1 2 2 3 3 4 4 5 2004 2005 2005 2006 2005 2005 2005 2 4010 2006 2006 2 2 2 n (n 1) 2n 2n 1 1 1 （法 2）：
a 2 2 n 2 2 n (n 1) n n n n n (n 1) 【备选 3】计算：
【解析】
原式
3 3 3 1 2 3 2006
1 2 3 2006
2 1 2 3 2006 1 2 3 2006
1 2 3 2006
1 2
2006 2006 1
2013021 【备选 4】计算：
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【解析】
令
621 739 458 126 358 947
a ；
739 458 358 947
b ，
原式
378 378 a b a b
207 207
a b
378 621 378 207 126 207
9 【备选 5】计算
2009 2009 11 99900 99990 9901
( 结果表示为循环小数 ) 【解析】
由于
1 99900
0.00001
， 1 0.00001 99990
，
所以 1 1 0.00001 0.00001 0.00000000900991 99900 99990 而 900991 7 13 9901 91 9901 ，
，
所以，
2009 2009 11 11
0.00000000900991 2009 99900 99990 9901 9901 0.00000000000091 11 2009 0.00000000001001 2009 0.00000002011009 第 16 页 共 104 页
六年级奥数讲义 第二讲 比和比例 教学目标：
1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“ 1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初 考试的重要内容 . 通过本讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质 性质 1：若 a: b= c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b= c：d； 性质 2：若 a: b= c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b= c：
d； 性质 3：若 a: b= c：d，则(a +x c)：(b +x d)= a：b=c：d； (x 为常数 ) 性质 4：若 a: b= c：d，则 a×d = b×c；(即外项积等于内项积 ) 正比例：如果 a÷b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成正比； 反比例：如果 a×b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成反比． 二、主要比例转化实例
①
x a y b
y b x a
；
x y a b
；
a b x y
；
②
x a y b
mx a my b
；
x ma y mb
( 其中 m 0 ) ；
③
x a y b
x a x y a b
；
x y a b x a
；
x y a b x y a b
；
④
x a y b
，
y c z d
x ac z bd
； x : y : z ac: bc: bd ；
⑤ x 的
c a
等于 y 的
d b
，则 x 是 y 的
ad bc
， y 是 x的
bc ad
． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将 x 个物体按照 a :b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量
与 x 的比分别为 a : a b 和 b : a b ，所以甲分配到
ax a b
个，乙分配到
bx a b
个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：
两个类别 A 、 B ，元素的数量比为 a :b ( 这里 a b ) ，数量差为 x ，那么 A 的元素数量为 ax a b
， B 的
元素数量为 bx a b
，所以解题的关键是求出 a b 与 a 或 b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“ l”。题中如果有几个不同的单位“ 1”，必须根据具体情 况，将不同的单位“ 1”，转化成统一的单位“ 1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数 应用题时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“ 1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“ 1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是 成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、 更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题 例题精讲：
模块一、比例转化 第 17 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【例 26】
已 知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的 1 3
，乙等于甲、丙两数和的 1 2
，丙等于甲、乙
两数和的
5 7
，求甲:乙 : 丙 . 【解析】
由 甲等于乙、丙两数和的
1 3
，得到甲等于三个数和的
1 1 3+1 4
，同样的乙等于甲、丙两数和的
1 1 2+1 3
，同样的丙等于甲、乙两个数和的
5 5 7 5 12
，所以
1 1 5 甲 :乙 :丙 : : 3: 4:5 ．
4 3 12 【例 27】
已 知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 一半这三个数的比为多少？
2 3
，那么甲的
2 3
、乙的 2 倍、丙的 【解析】
甲 的一半、 乙 的 2 倍 、丙的 2 3
这 三 个数 的比为 1:1:1 ， 所 以甲、乙、 丙这三 个 数的比为
1 2 1 : 1 2 : 1 2 3
即 2 : 1 : 3 2 2
，化简为 4 :1: 3，那么甲的
2 3
、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的
比为
2 1 4 : 1 2 : 3
3 2
即
8 3
: 2: 3 2
，化简为 16 :12 : 9 . 【例 28】
如 下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的
4 5
，且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面积
的
1 6
，圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的
1 5
，圆 C 的阴影部分面积占圆 C 面积的
1 3
．求圆 A 、圆 B 、圆 C 的面积之比． A
C B 【解析】
设 A 与 B 的 共 同 部 分 的 面 积 为 x ， A 与 C 的 共 同 部 分 的 面 积 为 y ， 则 根 据 题 意 有
5 A B C 6 x y， 4
B x ，
5
C y ，于是得到 3
5 B C B C 6 ，这条式子可化简为 4 5 3
B 15C ，所以
5 A B C 20C . 最后得到 A : B: C 20 :15 :1 . 4 【例 29】
某 俱乐部男、女会员的人数之比是 3 : 2 ，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比 是 10:8 : 7 ，甲组中男、女会员的人数之比是 3 :1 ，乙组中男、女会员的人数之比是 5 :3 ．求丙组 中男、女会员人数之比． 【解析】
以 总人数为 1，则甲组男会员人数为
10 3 3 10 8 7 3 1 10
，女会员为
3 1 1 10 3 10
，乙组男会员为
8 5 1 10 8 7 5 3 5
， 女 会 员 为
1 3 3 5 5 25
； 丙 组 男 会 员 为
3 3 1 1 3+2 10 5 10
， 女 会 员 为
2 1 3 9 3+2 10 25 50
；所以，丙组中男、女会员人数之比为
1 9 : 5:9 10 50
． 【巩固】
一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、 乙个工程队建设， 两个工程队建设了相同多 的一段时间后，分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率 ( 建设速度 ) 之比 3:1 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比 . 【解析】
( 法一)甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度，仅完成了 40% 的承包任务，而乙工程队完成了 60% ， 所以甲工程队承包任务的 40% 等于乙工程队承包任务的 60% 3 180% ，所以甲工程队的承包的 任务是乙工程队承包任务的 180% 40% 450% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 450% :1 9: 2． ( 法二 )两个工程队完成的工程任务 ( 修建公路长度 )之比等于工作效率之比， 等于 3 :1 ，而他们分别完成了各 自任务的 40% 和 60% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 3 40% : 1 60% 9: 2 ． 第 18 页 共 104 页
六年级奥数讲义 【例 30】
某团体有 100 名会员，男女会员人数之比是 14 :11 ，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数 之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12 :13 、 5 : 3、 2:1 ，那么丙组有多少名男会员？ 【解析】
会 员总人数 100 人，男女比例为 14 :11 ，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人；又已知甲组 人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为 50 人，乙、丙人数之和为 50 人，可设丙 组人数为 x 人，则乙组人数为 50 x 人，又已知甲组男、女会员比为 12 :13 ，则甲组男、女会员
人数分别为 24 人、 26 人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：
5 2 24 (50 x) x 56 ， 8 3 2 解得 x 18 ．即丙组会员人数为 18 人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为 18 12 人． 3 【例 31】
( 2007 年华杯赛总决赛 ) A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 1: 2 : 3，由甲、乙、丙三队分别承 担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成 的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、 丙队的工作效率的比是多少？ 【解析】
根 据题意，如果把 A 工程的工作量看作 1 ，则 B 工程的工作量就是 2 ， C 工程的工作量就是 3 ． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 、 z. 经过 k 天，则：
2kx 2 ky 1 3ky 3 kz 2 kz 1 kx 3
将⑶代入⑵，得
2 kx ky 4 ， 3 将⑷代入⑴，得
2 kx 2kx 2 ，
3
x
4 7k
， 将
x
4 7k
代入⑴，得
y
6 7k
．代入⑶，得
z
3 7k
．
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是
4 6 3 : : 4: 6:3 7k 7k 7k
． 【巩固】
某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等 奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5: 6 ；③甲、乙两校获二等奖的 人数总和占两校获奖人数总和的 20% ；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50% ；⑤甲校 获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的 百分数等于多少？ ...