初中数学证明题
1.如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,求∠BAC的度数.
2.如图,△ABC中,AD平分∠CAB,BD⊥AD,DE∥AC。求证:AE=BE。
.3.如图,△ABC中,AD
平分∠BAC,BP⊥AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。求证:∠ABP=2∠ACB。
B 图1 P B C
4.如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,求∠BAC的度数.
图
15.点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE 求证:BD=CE
6.△ABC中,AB=AC,PB=PC.求证:AD⊥
BC A B D E C
7.已知:如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点.求证:
HB=HC
8 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角
形.9.如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,
直线BM、CN交于点F。
(1) 求证:AN=BM;
(2) 求证:△CEF是等边三角形
A
10 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD
的中线,CF
平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.
11.如图:Rt△ABC
中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB.求证:AE=BE.
12.已知:如图,△BDE是等边三角形,
A在BE延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC。求证:DE+DC=AE。
13.已知ΔACF
≌ΔDBE,∠E =∠F,AD = 9cm,BC = 5cm;
求AB的长.
初中数学的证明题
在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,且BD=CE,线段DE交BC于点F,说明:DF=EF。对不起啊我不知道怎么把画的图弄上来所以可能麻烦大家了谢谢
1.过D作DH∥AC交BC与H。∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DH∥AC,∴∠DHB=∠ACB,∴∠B=∠DHB,∴DB=DH.∵BD=CE,∴DH=CE.∵DH∥AC,∴∠HDF=∠FEC.∵∠DFB=∠CFE,∴△DFH≌△EFC,∴DF=EF.
2.
证明:过E作EG∥AB交BC延长线于G
则∠B=∠G
又AB=AC有∠B=∠ACB
所以∠ACB=∠G
因∠ACB=∠GCE
所以∠G=∠GCE
所以EG=EC
因BD=CE
所以BD=EG
在△BDF和△GEF中
∠B=∠G,BD=GE,∠BFD=∠GFE
则可视GEF绕F旋转1800得△BDF
故DF=EF
3.
解:
过E点作EM∥AB,交BC的延长线于点M,
则∠B=∠BME,
因为AB=AC,所以∠ACB=∠BME
因为∠ACB=∠MCE,所以∠MCE=∠BME
所以EC=EM,因为BD=EC,所以BD=EM
在△BDF和△MEF中
∠B=∠BME
BD=EM
∠BFD=∠MFE
所以△BDF以点F为旋转中心,
旋转180度后与△MEF重合,
所以DF=EF
4.
已知:a、b、c是正数,且a>b。
求证:b/a
要求至少用3种方法证明。
(1)
a>b>0;c>0
1)(a+c)/(b+c)-a/b=/=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)
=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/
a>b--->a-b>0;a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0
-->c(a-b)/>0--->(a+c)/(b+c)>a/b
2)a>b>0;c>0--->bc
---ab+bc
--->a(b+c)
--->a(b+c)/
--->a/b
3)a>b>0--->1/a0
--->c/a
--->c/a+1
--->(c+a)/a
--->(a+c)/(b+c)>a/b
(2)
makeb/a=k
b=ka
b+c=ka+c
(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)
=k+(1-k)c/(a+c)>k=b/a。
-
最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。
正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用-
到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。
几何证明题入门难,证明题难做,是许多初中生在学习中的共识,这里面有很多因素,有主观的、也有客观的,学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验,谈谈自己的一些方法与大家一起分享。
一要审题。很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可龋我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。
二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记,在读题的时候每个-
条件,你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记,题目给出的条件不仅要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就可以把题目复述出来。
三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论,然后在图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等,还是边相等,等等,如证明角相等的方法有形中等边对等角。
3.等腰三角形中,底边上的中线平分顶角。
-
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角的余角相等。
*6.同圆中,等弦所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。
-
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。
-
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理。
六、证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明线段不等
1.同一三角形中,大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。
*5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心-
距小。
6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角的不等
1.同一三角形中,大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
十、证明四点共圆
*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
-
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆
初中数学几何证明题画辅助线的技巧
在初中数学几何学习中,如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题,许多同学常因辅助线的添加方法不当,造成解题困难。以下是常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀。
人人都说几何难,难就难在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。三角形中两中点,连接则成中位线。
-
三角形中有中线,延长中线等中线。平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。
半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。
-
切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。
虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。
人说几何很困难,难点就在辅助线。
初中数学几何证明题辅助线怎么画?
辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
-
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。几何证题难不难,关键常在辅助线;
知中点、作中线,中线处长加倍看;
底角倍半角分线,有时也作处长线;
-
公共角、公共边,隐含条件须挖掘;
全等图形多变换,旋转平移加折叠;
中位线、常相连,出现平行就好办;
四边形、对角线,比例相似平行线;
梯形问题好解决,平移腰、作高线;
两腰处长义一点,亦可平移对角线;
正余弦、正余切,有了直角就方便;
特殊角、特殊边,作出垂线就解决;
实际问题莫要慌,数学建模帮你忙;
圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;
弦心距、要垂弦,遇到直径周角连;
切点圆心紧相连,切线常把半径添;
两圆相切公共线,两圆相交公共弦;
切割线,连结弦,两圆三圆连心线;
基本图形要熟练,复杂图形多分解;
以上规律属一般,灵活应用才方便。
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初中数学几何证明题
分析已知、求证与图形,探索证明的思路。
对于证明题,有三种思考方式:
(1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,探索解题方法,从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显,数学这门学科知识点很少,关键是怎样运用,对于初中几何证明题,最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。
几何证明题入门难,证明题难做,是许多初中生在学习中的共识,这里面有很多因素,有主观的、也有客观的,学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验,谈谈自己的一些方法与大家一起分享。
一要审题。很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可龋我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。
二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记,在读题的时候每个条件,你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记,题目给出的条件不仅要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就可以把题目复述出来。
三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下,你一点击开始立刻弹出对应的菜单),然后在图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等,还是边相等,等等,如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法,然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件,把题目转换成证明其他的结论,通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现,这时再把这些条件综合在一起,很条理的写出证明过程。
五要归纳总结。很多同学把一个题做出来,长长的松了一口气,接下来去做其他的,这个也是不可取的,应该花上几分钟的时间,回过头来找找所用的定理、公理、定义,重新审视这个题,总结这个题的解题思路,往后出现同样类型的题该怎样入手。
初中数学证明题解答
1.若x1,x2∈|-1,
1且x1*x2+x2*x3+……+xn*x1=0
求证:4|n
(x1,x2,x3,xn中的数字和n均下标)
2.在n平方(n≥4)的空白方格内填入+1和-1,
每两个不同行且不同列的方格内数字的和称为基本项。
求证:4|所有基本项的和
1.y1=x1*x2,y2=x2*x3,……,yn=xn*x1
==>
y1,y2,..,yn∈{-1,1},
且y1+..+yn=0.
设y1,y2,..,yn有k个-1,则有n-k个1,所以
y1+..+yn=n-k+(-k)=n-2k=0
==>n=2k.
而y1*y2*..*yn=(-1)^k=^2=1
==>k=2u
==>n=4u.
2.
设添的数为x(i,j),1≤i,j≤n.
基本项=x(i,j)+x(u,v),i≠u,j≠v.
这时=x(i,j)和x(u,v)组成两个基本项
x(i,j)+x(u,v),x(u,v)+x(i,j),
和x(i,j)不同行且不同列的x(u,v)有(n-1)^2个,
所以每个x(i,j)出现在2(n-1)^2个基本项中.
因此所有基本项的和=2(n-1)^2.
设x(i,j)有k个-1,则
所有基本项的和=2(n-1)^2=
=2(n-1)^
2显然4|2(n-1)^2,
所以4|所有基本项的和.
命题:多项式f(x)满足以下两个条件:
(1)多项式f(X)除以X^4+X^2+1所得余式为X^3+2X^2+3X+
4(2)多项式f(X)除以X^4+X^2+1所得余式为X^3+X+2
证明:f(X)除以X^2+X+1所得的余式为X+
3X^4+X^2+1=(X^2+X+1)·(X^2-X+1)
X^3+2X^2+3X+4=(X^2+X+1)·(X+1)+X+3
X^3+X+2=(X^2+X+1)·(X-1)+X+3
====>f(X)除以X^2+X+1所得的余式为X+3
各数平方的和能被7整除.”“证明”也称“论证”,是根据已知真实白勺判断来确某一判断的直实性的思维形式.只有正确的证明,才能使一个真判断的真实性、必然性得到确定.这是过去同学们较少涉足的新内容、新形式.本刊的“有奖问题征解”中就有不少是证明题(证明题有代数证明题和几何证明题等),从来稿看,很多同学不会证明.譬如上题就是代数证明题,不少同学会取出一组或几组连续的自然数,如O+1+2+3+4+5+6z一91—7×13,1+2+3+4+5+6+7z一140—7×2O后,便依此类推,说明原题是正确的,以为完成了证明.其实,这叫做“验证”,不叫做证明.你只能说明所取的数组符合要求,而不能说明其他的数组就一定符合要求,“验证”不具备一般性、必然性.这道题的正确做法是:证明设有一组数n、n+
1、n+
2、n+
3、n+
4、n+
5、n+6(n为自然数),‘.‘+(n+1)+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2一n2+(n2+2n,4-1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+16)+(n2+10n+25)+(n+12n+36)一7nz+42n+91—7(nz+6n+13),.‘.n+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)+(n+6)能被7整除.即对任意连续7个自然数,它们平方之和都能被7整除.(证毕)显然,因为n可取任意自然数,因此n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6便具有一般性,所得结论也因此具有然性.上面的证明要用到整式的乘法(或和的平方公式)去展开括号,还要逆用乘法对加法的分配律进行推理.一般来说,代数证明的推理,常要借助计算来完成.证明中的假设,应根据具体情况灵活处理,如上例露勤鸯中也可设这7个数是n一
3、n一
2、n一
1、n、n+
1、n+
2、n+3(n为自然数,且n≥3).这时,它们的平方和就会简便得多.证明由论题.论据和论证方式组成.常用的论证方式有直接证明和间接证明、演绎证明和归纳证明.上例中的题目便是论题,证明中“‘.”’之后是论据,“.‘.”之后是结论,采用的论证方式是直接证明.以后还要学习几何的证明,就会对证明题及其解法有更全面、更深入的了解.几何题的证明则较多采用演绎证明.证明是对概念、判断和推理的综合运用,是富有创造性的思维活动,在发现真理、确认真理、宣传真理上有重要的作用.当你学习并掌握了“证明”的方法及其精髓以后,数学向你展示的美妙与精彩,将使你受到更大的激励,享有更多成功的喜悦。
平面几何大题 几何是丰富的变换
多边形平面几何有两种基本入手方式:从边入手、从角入手
注意哪些角相等哪些边相等,用标记。进而看出哪些三角形全等。
平行四边形所有的判断方式?
难题
初中证明题
初中几何证明题
初二证明题
数学证明题技巧
初中几何证明